II. — Étude rapide de la fonction inverse. L'équation

Gd^

v/(^a)(^-^)(z-YK^-8)

permet à volonté de considérer u comme fonction de z, ou z comme fonction de u. Si l'on considère z comme fonction de w, je dis qu'à chaque valeur de u correspondra une et une seule valeur de z; c'est ce qui résulte de la théorie des équations différentielles (p. 127); z est défini par la condition de s'annuler pour m :^ o et de satisfaire à l'équation

^ = g /(^oc)(.--fi)(^-T)(l.-5).

La fonction z ne pourrait cesser d'être monodrome qu'autour des points pour lesquels z = cf., p, y, 0, co.

Supposons z voisin de a; si l'on pose z = ol-t- (^-, on a

= pV/(^^-H'^-?)(C^-+-a-T)(C^-4-a-8).

du G

Quand ^ = a, on a Ç = o ; or, quand u varie de manière que preste dans le voisinage du point a, Ç reste monodrome; il en est donc de même de la fonction ^. Si ^ est très grand,

posons z = -, l'équation différentielle qui définit z deviendra

Quand z est très grand, Ç est très voisin de zéro ; par suite, s est fonction monodrome de w, et il en est de même de z lorsque cette variable reste très grande.

A chaque valeur de ^correspondent une infinité de valeurs de w, à savoir /7^^ tOi -|- mo 0^2 H- u et mi w, -h m2 too -I- A — u,

m,, 7112 désignant des nombres entiers tout à fait arbitraires. Si l'on fait alors z =f(u), on aura

f{ nii tOi -T- /?l2 Wg -4- U) T= f(^u),

f{mi(xii-^ m2t02 -f- A — u) =^f(u);

co, et ojo sont ce que l'on appelle les périodes de la fonction/(«<).

Si l'on mène dans le plan deux systèmes de droites parallèles à des distances w, et too les unes des autres, on décomposera le plan en parallélogrammes de côtés (jl)< et Waices parallélogrammes seront àils parallélogrammes des périodes. De ce qui précède, il résulte que :

i*^ Dans chaque parallélogramme des périodes, la fonction z =zf(^u) ne passe que deux fois par la même valeur; car, en négligeant les multiples des périodes^ on a, pour une même valeur de z, deux, et seulement deux valeurs de Uj à savoir uetA — u;

2° Que la fonction f(u) est partout monodrome et monogène;

3" Puisque, pour chaque parallélogramme des périodes, elle passe deux fois par la même valeur, elle a dans chaque parallélogramme deux zéros, à savoir o et A;

4° Elle a aussi dans chaque parallélogramme deux infinis.

L'un d'eux est l'une des valeurs de l'intégrale

l'autre est A — a.

5° On peut vérifier que la fonction f[u) passe par toutes les valeurs deux fois, dans chaque parallélogramme des périodes.

En effet, si l'on considère l'équation

jgO CHAPITRE Vil.

on obtiendra le nombre de ses racines diminué du nombre de ses infinis en calculant l'intéerrale

prise le long d'un parallélogramme des périodes; or cette

intée:rale est nulle; car ~-^ — - — ? étant comme f(u) double-

ment périodique, prend des valeurs égales le long des côtés opposés d'un parallélogramme des périodes. Deux côtés opposés étant parcourus en sens contraire fournissent donc V des éléments qui se détruisent : on a donc V = o; donc le nombre des racines de/(w) — a=-- o est égal au nombre des infinis de/(w), c'est-à-dire égala deux. c. q. f. d.

Remarque. — La fonction z de w définie par l'équation

OÙ £ est une nouvelle constante, n'est pas monodrome, comme on le verra plus tard; ce fait sépare nettement les intégrales elliptiques des autres intégrales abéliennes, telles que u, ou d'une forme plus compliquée.