III. — De la fonction sinamw ou snu

La fonction snu=z est définie par l'équation différentielle

dz

avec la condition z = o pour u = o, ou par la formule

r^ dz

Ses propriétés découlent de la théorie développée aux paragraphes précédents. Si l'on pose avec Jacobi

kV^= f ^ ^^ —

ou encore, en faisant dans cette dernière formule k'^ =\ — k et I — k-z'-=k'-t-,

Jo \/i.^~t''){i — kU-^)

Les intégrales pîHses le long des lacets relatifs aux points critiques seront données par le Tableau suivant :

Le point -h r

fo

urnira

la

valeur ....

•2KV-I.

en ce qui concerne les points critiques -4- i et — i, cela est

Fig.

évident. Pour calculer la valeur de l'intégrale relative au lacet du point j {/ig. 7), on remarquera que le contour fermé qui se compose des lacets successifs du point . et du

point I est équivalent au double lacet abc : ainsi, en n'écrivant pas, pour abréger, la fonction à intégrer

d'où

Donc :

i" La fonction snu est monodrome et mono gène. 2" Elle a deux périodes distinctes l\¥s. et lYJ. \J — 1. 3° Elle a deux zéros dans chaque parallélogramme des périodes, à savoir o et 2K.

4° Elle y a deux infinis; Vun d'eux a est donné par la

formule

/""° dz^

où

dz

On peut supposer que l'intégration s'effectue le long de la droite H' H passant en O et peu inclinée sur O^; on peut remplacer cette droite par les deux lacets situés au-dessus d'elle et par une demi-circonférence de rayon infini ayant HH' pour diamètre, qui fournit une valeur nulle de l'intégrale; on a donc

2a — 2K-}-2K' / — i-f-2K = 4K-T-2K' sj — I , d'où

a = 2K + KV— '.

Les deux infinis sont alors

2K-^KV^ et 2K-(2K-t-KV^) = — KV^ ou K'/^.

5° On a aussi par définition de K et K'

sn K = j , sn ( K H- K' / — i ) = r »

AT

THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. IqS

6« On a

sn( — m)= — snw, sn(2K — z^)=snw.

^/' Si, dans la formule

on pose ^ = y— j on trouve

c'esL-à-dire

'^ dy

a désignant un infini; on en déduit

ou

sn(a — ?i) — dz /

kz kswu si l'on fait a = — R' y' — i , par exemple, on a

sn(K'v/— 1+ w) = dz -^ :

il faut adopter le signe +, parce que, pour u = K, on a

sn(K+KV^)= ;.»

donc

sn(dz KV— 1 -4- w) = , •