IV. — Sur les fonctions cnu et dnw
On pose on w = ^i — sn^w; mais cette définition est insuffisante, tant que l'on ne précise pas la valeur du radical qu'il L. — rrailé d'Analyse, IV. i3
faut adopter; si l'on suppose que l'on prenne cno= 4-i, cnu sera bien déterminé dans toute portion du plan ne contenant pas de point u, tel quesnw = i ousnz^ = oo. Sisnz^ devient égal à i , on peut poser z^ =: K + ?/, et l'on a
sn(K-H u') = sn(2K — K — u')= sn(K— u');
la fonction sn(K -}- u') est paire et peut se développer sous la forme i -f- Aii'^ -]-.... On a alors
cnu
pour sni^=:i, u'z=io, cnu reste monodrome par rapport à u' et, par suite, par rapport à u.
Si sn w = 00, on peut supposer, par exemple, u = K.'\/ — i ;
faisant alors cnu = -y snu==: — > on trouve
On voit que ç est fonction monodrome de u quand w:==o, donc en w est fonction monodrome de u quand sn?^ r== oo. Nous arriverons aux mêmes conclusions par une autre voie. Nous poserons aussi
dnu = yi — k^sn^u, clno = -!-i
et l'on verra, comme on l'a fait pour la fonction cnu, que dnu est monodrome, même lorsque snw=T;en posant
u =: K!,J — I -f- u', alors
dn M = v/i — A' 2 sn ( K' i/— I 4- a' ) = 1 / 1 ^,
\/sn'^u' —
dnw est monodrome par rapport à u' quand u' est très petit, et par suite, par rapport à u. Donc, etc. c. q. f. d.
Reprenons la formule
dz
THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. igS
oiiz:=snu,^i — z- = cnUf\/i — k-Z'=dnu. Soit Wq la valeur de l'intégrale quand z suit le chemin rectiligne Oz. 1° Si l'on suit le lacet -|- i et le chemin rectiligne, on aura
M = 2 K — Mo ;
cnu = y/i — z- revient en z avec la valeur primitive changée de signe, ànu = \/i — A-^- revient avec sa valeur primitive : donc
/ sn(2K — ^^o) = snuo,
(i) } cii(2K — Uq) = — cnwo,
( dn(2K — i^o) = clnwo.
2° Si l'on suit le lacet -i- jy u prend la valeur 2K-f-2K'v/ — I — Uq,
cnu= \/\ — Z' reprend sa valeur initiale à l'origine, mais dn w = y/ 1 — k'Z'^ change de signe , et l'on a
/ sn (2K -f- 2K'v/ — 1 — Uq) = snuQ,
(2) < en (2K-4- 2K'/ — I — Uo) = cnuo,
\ dn(2K -r-aK'y/ — i — wo) = — dn Uq.
3° Suivant deux lacets — i et + i , puis le chemin rectiligne, u prend la valeur 4K -|- w, cni^ et dnu reviennent en dernier lieu à l'origine avec leurs signes primitifs, et l'on a
I sn(4K + Uq) = snuQ,
(3) < en (4K-\- Uq) = en Uq, ( dn(4K -I- Mo) = diiMo.
4** Suivant deux lacets — ^ et -f- t et le chemin rectiligne, on est conduit aux formules
(4K + 4K'v/-»-i- uo) =
snuo,
ig6 CHAPITRE VII.
OU, en vertu des formules précédentes,
j sn (4KV— I -+- Mo) = snMo,
(4) \ cn(4K'v/— J -^ Wo) = cn^o, ( dn(4K' /—'-+- "o) = dn Mo-
5° En suivant les lacets i et t et le chemin rectiligne, on trouve
I sn (2KV — I -4- Wo) = snwo,
(5) / cn(9.KV— i^ "o)= — cnMo, \ dn(2KV — i -^ Uo) = — dnwo-
D'ailleurs on a
sn( — m) = — siiM, en — u = cnu, dn — u — dnu;
car, quand z se change en — z, u se change en — w, etc., on conclut de (3) que 4K.est une période des trois fonctions; mais, en changeant dans la formule (i) Uç, en — Uq et en observant que dnz^o = dn( — Wq), on a
dn(2K -h Wo) = dn Wo;
ainsi 2K est une période plus simple de dnw.
En vertu de (4), 4I^V — ^ est une période des trois fonctions, mais 2K\/ — i est déjà une période de sn?/, et, si l'on change u^ en — Mq dans (3), on voit que 2K -f- 2K'y^ — i est une période de en m.
6^^ En résumé, 4Ket 4^'^/ — i sont des périodes communes aux trois fonctions; mais elles ont individuellement des périodes plus simples :
sn w a pour périodes 4 K et lY^sJ—x^
en M » 4K et 2K -t- lY^sJ — 1,
dnw » 2K et 4K'v/— '•
^° Les infinis de snw, cnw, dnw sont évidemment les mêmes, à savoir K' y/ — i et 2K + K\/ — i .
8° Les équations cnw = a, dnï^ = a ont évidemment
autant de solutions dans chaque parallélogramme des périodes qu'elles possèdent d'infinis, c'est-à-dire deux; la démonstration de ce fait est identique à celle que l'on a faite à propos de l'équation snM = a; cnw et dnu en particulier ont deux zéros dans leurs parallélogrammes respectifs, cnu est nul quand snw= i, donc les zéros de cnu sont K et, en vertu de (2), R -f- 2K'^ — i ou, en retranchant une période, — K. Pour trouver les zéros de dnx, on observe que
donc
dn(K — KV— 0 = 0 ou dn(K-i-K'
et
dn(— K4-K'v/— i) = 0 ou dn — (K + K'y/^^) = o.
Le Tableau suivant résume les principales propriétés des trois fonctions :
snu.
en a.
diïu.
Périodes .
4K, 2K-f-2KV— I
Zéros....
±:(K-hK'/=1)
j Infinis . . .
2K + KV— I,
KV-.
Id.
Id.
