V. — Dérivées de snu, cnu, dnu
De l'équation
dx
on tire
dx du
igS CHAPITRE VII.
OU
(i) sn'u = cnudnu.
On a ensuite, en différentiant
en w = y/i — sn^w,
snusn u snu
— = en w an w
y/i — sn2a en m
OU, finalement,
(2) cn'î^ = — snudnu
de même, en différentiant
dn M = y/i — A-2 sn^ u,
on a
, , k^ snu sn'u ,, snw ,
an u = . = — k^ -1 en w an a
\/i — k^sn^u dni^
ou
(3) dn' u = — k^snucnu.
Si l'on avait quelques doutes sur les signes des seconds membres des formules (i), (2), (3), on observerait que ces formules, ayant lieu pour de petites valeurs de u, sont générales.
Si l'on pose sn w = /?, en w = ^, dn w = /', on voit que les formules (i), (2), (3), donnent
du^ ^'•'
du - 'P'
dp
du
dq
du
dr ,„
On a donc une solution des équations différentielles précédentes en prenant /? = sn( w -j- c), ^=:cn(î^ + c), ^ = dn(w + c); c et A- désignent alors des constantes. Cette remarque sera utilisée plus tard.
THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. ï 99
Le résidu de sn.r pour x = K.\^ — i , par exemple, est la limite de
(:r — KV— Osnar
pour œ = K'y/' — i , ou de
E sn(K'v/ — I -4- e)
pour £ = 0, ou, en vertu d'une formule du paragraphe précédent, de
ksm^
ou de
k cm dne
c'est-à-dire j-
Les autres résidus se calculent d'une manière analogue quand on connaît cn(K'y/ — i + e), dn(K'y/ — i + e); nous apprendrons à les calculer plus loin.
VIL — Remarque importante.
Les zéros et les infinis de sn^r, cn^, dn^ sont simples; en effet, on a trouvé
Si l'on fait x=o ou .2;= 2K, on voit que sn'.^; reste fini; donc les zéros de sn^ sont simples; on verrait de même que ceux de cnx et dn.r sont simples aussi.
Cette même formule montre que, si sn^ est infini, d'abord cnœ = <^i — sn2;r et dn.r = y/i — A^sn-^ sont infinis de même ordre; donc sn'^r et sn^^ sont infinis de même ordre. Supposons donc que sn^ ait un infini d'ordre a, sn'.r aura
cet infini à l'ordre a + i et sn^^ de l'ordre 2a; on doit doncavoir
ainsi sn^ ne peut avoir que des infinis simples; il en est évidemment de même des deux autres fonctions cn^ et dn^.
