VIII. — Discussion rapide des fonctions elliptiques

Il est naturel de chercher à discuter la fonction snii au moyen de la formule

qui sert à la définir quand on y suppose k réel et moindre que I. On voit que u et a: sont de mêmes signes, qu'ils varient dans le même sens, jusqu'à ce que ^ = dz i : à partir de là, u cesse d'être réel quand ^ croît; x, c'est-à-dire sn 11, varie donc entre les limites — i et + i quand u varie de

dx . r^ dx

Ç' dx^ . r

ces quantités seront désignées par — K et -f-K; il semble que u ne puisse pas prendre d'autres valeurs, mais c'est là une erreur analogue à celle dans laquelle on tomberait si l'on partait de la formule

C dx arcsiiii

pour définir le sinus, et ici il semblerait également que l'arc sinus dût varier entre — - et -\- -■> mais l'arc sinus franchit en réalité ces limites, parce que l'on admet que la dérivée peut être ± —== et que le passage de x par un, annulant

le radical, lui permet de changer de signe. Si donc on veut retrouver la continuité dans l'arc sinus, il faut nécessairement prendre le radical avec le double signe. Nous ferons de même dans la discussion de l'amplitude u, eL nous admettrons alors que u continue de s'accroître, quand x décroît, le radical changeant de signe; alors x ou sn^^ va successivement repasser par la série de valeurs par lesquelles il était passé et l'on aura sn(K -I- ;<) == sn(K — u)-^ on a donc, en observant que sni^ = sn( — w),

sn(K-i- u)

sn(M — K)= sn(a — 3K)

et, en faisant K

snv = sn(p — 4K);

et, par suite aussi, snç^ = sn(ç^ -h 4K.) = sn((^ + 4^K.), en désignant par m un entier quelconque; 4K. est donc une période de sn^ comme 27: est une période de sin^z;. Lidi/ig. 8

Fig.

ci-contre représente assez bien la marche de la courbey = snx pour A" <C I ; on y a joint les courbes y = cn^, y = dn^. Lamé appelait sn^ \\n pseudo-sinus, cn^ un pseudo-cosinus et dn^r un pseudo-rayon ; cn^ a pour période 4K., mais dn^ a pour période 2K. La courbe r = cn^ ne diffère dejK = sn^ que par sa position, et l'on a cn^- = sn(K — x).