VIII. — Extension du théorème de Cauchy

Par définition l'intégrale double / //(^, y) dxdy est, L. — Traité d'Analyse, IV. 2

l8 CHAPITRE I.

comme nous avons vu au § VI, la valeur de l'intégrale ordinaire

ou, en remplaçant /(:?;, y) par X + Y y/ — i ,

m(x ^ Y /^) iiu;) + (X v^ - Y) ^^'

Les quantités //y sont, en posant •/ii-o, /is^o, /j3=X-^Yv/^, /,,= X/~r-Y,

/33=o, /si = o, Ai^^o;

et il est facile de voir que les relations analogues à la formule (2) du paragraphe précédent sont

()(Xs/^ — y) ()(x-f- Yv/=7)

c)(Xh-Y/=^) ^(Xv/-"T-Y)

lesquelles sont satisfaites en vertu des relations

dX âY ^ __^

dX__dY ^ ^

On peut donc dire que :

Uin tégra le j j f{x,y)dxdyest indépendan te de la surface le long de laquelle on la prend, le contour qui limite

cette surface restant le même, pourvu que, en se déformant, la surface cV intégration ne rencontre pas de point pour lecjuel la fonction f cesserait d^être synectique.

Si nous conservons le nom de points critiques aux points de riiyperespaco ;, ç', r,, r/, pour lesquels la fonction/ cesse d'être synectique, ces points formeront une surface continue, au moins en général, car l'équation

f(x,y) = tc ou Xi H- Yi v/— 1 = o

se décompose en deux X, = o, Yi = o entre quatre variables

î- ri /

Nous bornerons à ces quelques notions la théorie des intégrales multiples, dont il n'a pas encore été fait beaucoup d'applications.