IX. — Équation d'Euler
L'équation suivante dx
dv
dans laquelle A, B, G, D, E désignent des constantes, s'intègre bien facilement au moyen des quadratures, et, pour obtenir
celte intégrale, il suffît évidemment d'écrire le signe / en avant
de chacun des deux membres. Mais il est bien remarquable que l'intégrale générale de cette équation, qui se présente naturellement sous une forme transcendante, peut se mettre sous la forme algébrique
Da73 + Ex'* + /a + BjK -h GjK^ -\- Dj» i- Ej*
7)2-+-D(a7+jK)+K,
K désignant une constante arbitraire. Euler, à qui l'on doit cette découverte, est parvenu à ce résultat, dit-il, « quasi dwinando » ; et, malgré les progrès de la Science, on n'a d'autres méthodes naturelles pour y parvenir que celles qui sont précisément basées sur la théorie des fonctions elliptiques, que le résultat trouvé par Euler a pour ainsi dire fait naître.
Richelot et Cauchy ont essayé de donner des démonstrations directes de la formule (P), mais il est plus simple et plus naturel encore delà vérifier par la différentiation après l'avoir résolue par rapport à K.
Lagrange a intégré l'équation d'Euler d'une façon assez élégante, comme on va le voir, en la ramenant d'abord, au moyen d'un changement de variable, à la forme
dx dy
puis, en posant
x = sino,
THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 2o3
à la forme
(i bis) = ^
En égalant ces rapports à dt, on a
do 1 d^ I
(2) — i = /i — A^sin'^cp, — ^ = ^1 — A:2sin2<|;;
si l'on différentie ces deux équations par rapport à t^ on trouve
û?2cp A2sincpcoscp «?cp d'^^ A^ sini|; cos^]; d^
dt"' y/t yt2sin2çp dt ' • dt^ /i — X:2sin2t}; ^^
ou, en vertu de (2),
-TY = — A:2 sincp coscp, — -i = — A:2 sintj; cos^*- Posons nous aurons
d'où l'on tire
(3) -jj^ = — k^smp cosq, -j^ = — k^ sm q cosp . Les formules (2) donnent encore
ou
û?(cp + »î;) c?(cp-t|;) ^ I ~ 2 OU
-^- -^- = - A:2(C0S2Cp — COS2 4')
-j;-~= }'k^[cos(p-hq) — COsip-q)]
dt dt 1
ou enfin
dp dq j. .
-4 r- = — /^^ sin p sin q .
De cette formule et de (3) on tire
dpdq
cot^,
OU
d'^p dp
cot^ dq^
en intégrant, il vient dp
log-£ = logsin^ -H logé, log-%^ = logsin/? h- loga,
dpdq
d'^q dq ~~
cot/?
COt/? <3^
OU
dp ~di
h sin^,
dt
dq . ,
a et ^désignant des constantes; on en déduit
a sin/> dp =-h sin^ o?^
ou, en intégrant et en appelant c une constante,
(5) a cos/> = è cos^ -1- c.
Les équations (4) donnent, en remplaçant p el q par leurs valeurs,
dt
= h sin(çp — (];),
= a sin(cp -f- <];)
ou
(6) /i — ^^sin^cp H- sj \ — Â:2sin2(]> ~ 6 sin(cp — 4')'
(7) v^i — X:2 sin'^cp — sj \ — /c^ sin^^J; = a sin(o 4- <];). D'ailleurs, entre les constantes a et h^ on a la relation
THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 2o5
ainsi qu'on s'en assure en multipliant (6) et (7) membre à membre. La formule (5) peut s'écrire
(8) acos(cp H- (II) = 6 cos(cp — t];)H-c.
Désignons par [jl la valeur que prend o pour ^j; = o : les formules (6), (7), (8) donneront
1 y/i — A'2 sin2 jx h- 1 = 6 sin [x,
(9) ( v^i — A-2sin2[ji. — i = asin[i., ( acosjjL — b cos[x = c.
Remplaçons dans (8) a, b, c par leurs valeurs tirées de (9), nous aurons
/i — A-2sin2a. — I i/' — /«^'^sin^uL -f- I
; C0S(C5 -h ^)— -. COS('-p — ^)
Sin|JL V. T/ gjjjjjl^ V. T/
\/i — A'2sin2u. — I v/i — Â:2sin2ix+ i
= : ■ COSUl ; COSUL
sin{ji. sm(x
ou bien
(10) coscp cos(]> — sincp sin<|> y/i — k^ sin^ p, = cos[a,
équation célèbre et que l'on interprète facilement eri observant que, si l'on pose
cosM = — y/i — k^ sin2 [x,
cp, ({>, pi seront les côtés opposés d'un triangle sphérique dont l'angle opposé à pi sera M.
Si l'on change ^ en — 'l, on voit que
cosç cos^'-H sincp siin}> y/i — A^sin^fx = cos(Jt. sera une intégrale de
\/i — k^sm^o \/ i — k^ sin^^
X. — Addition des fonctions elliptiques. Méthode de Lagrange.
Je suppose que l'on soit parvenu à intégrer sous forme algébrique l'équation
dx dy
si Ton pose ^ = sn w, y = snç^, une intégrale de cette équation sera
=r = const.
r"" dx r^ dy
ou
u-\- V = const.;
soit
^{x, y) = const.
L'intégrale algébrique de (i), u -\' v el o{œ, y) étant constants en même temps, on aura
ou
W4- p =: F[cp(snM, snf )],
et la fonction F sera facile à déterminer en faisant ç = 0^ par exemple; on pourra donc calculer m + p en fonction de snu et sn(^, et l'on obtiendra diverses formules suivant la nature de la fonction cp que l'on aura trouvée ; toutes ces formules devront évidemment rentrer les unes dans les autres. En posant x = sincp, y = sin*];, la formule (i) devient
v/i — /f^sin2cp \/ i — k^ sin^^ etLagrange a trouvé, pour intégrale de cette équation (p. 2o5), coscp cos^» + sincp sint|; y/i — Â:2sin2[jt. = cos(ji.,
îjt. désignant la constante d'intégration; cette intégrale, en reprenant x et y pour variables, devient
en w en (^ — sn a sn p dn (jt, = en jjt.,
[jt, est la fonction de u -r- v qu'il faut déterminer^ or, en faisant z^ =0, on a
cn(> = cn|ji,
donc ^=: u-f- V, et l'on a
(2) cnacnp-f-snMsnfdn(w-f-(^) = cn(MH-ç>).
Si à cette formule on adjoint les suivantes
cn(M-h^')= y/i — sn2(w -\- v).
on obtient des formules qui donnent
sn(w-r-p), dn(ïi-i-p), en(w + p), qui sont
?,nucnv ànv -{- snv cnuénu
sii{u-\-v)= T- — ~ — ■
enwcnç^ — dn t« dnp sn ?^ sn ç>
(3) { cn{u-\-v)= —
ân(u -h v)
I — A^sn^M sn^p dn u dn p — k^snusnv en m en p I — k^^snu^sn^ç
et que nous retrouverons dans le paragraphe suivant.
Ces calculs sont compliqués et laissent subsister quelques incertitudes sur les signes que l'on doit adopter. Abel se borne à vérifier les formules précédentes dans son exposition de la Théorie des fonctions elliptiques. Voici comment ; appelons f le second membre de l'une quelconque de ces formules ; il vérifie que l'on a
du ds^ ' ce qui peut s'écrire
Il en conclut que les seconds membres de ces formules sont fonctions de m + (^; puis, faisant dans le second membre de la première, par exemple, ç = o, il trouve qu'il se réduit à snu; il en conclut que ce second membre est égal à sn(u 4- v).
Despeyrous arrive assez rapidement aux formules (3) en remarquant que, en multipliant l'équation (i) par
son premier membre devient une différentielle exacte ; alors l'intégrale de cette équation se présente sous la forme
