XI. — Méthode de Clebsch

La méthode de Clebsch repose sur le théorème d'Abel (p. i54) ' coupons la courbe

par la pai^bole

(2) j = I + 1":^^ -H aa?^;

si l'on appelle (^<,jK,), (^2,72), (^3,^3), (^4,^4) les coordonnées des points d'intersection, en vertu du théorème d'Abel, on doit avoir

, „ . dxi dx2 dx-i dxL

ri 72 73 74

car ici iy est la dérivée relative ky du premier membre de ( i ). Or l'un des points d'intersection des courbes (i), (2) a pour coordonnées o et i . La formule (3) se réduit alors, en supposant j^4 ^ I , ^4 = 0, à

dxx dxi dx^

ou à

dxx dx^ dx^

/(i - ^r )(i - f^'^l ) ^{i — xi){i~k-^xl) v^U - ^l )(i - /^ool )

Posant alors x^^=sna, ^2=sn6, ^3 = snc, cette formule donne

( 5 ) da -^ db -^ de = o\

or x^, X2, X3, Xji satisfont à l'équation

On en tire

On a aussi

2aP

Xi + a:2 + ^3

P^Ti+aarf,

^372+ aa7|

y 1X2 — 371 JK2 = ^2 — 371 H- a^i.r2(37i — ^2) oa, en vertu de la dernière formule (6),

c'est-à-dire

sn2<2 — sn^b snc

sn 6 en a cln a — sn a en 6 dn 6 ' L. — Traité d'Analyse, IV.

210 CHAPITRE Vil.

mais, en vertu de (5),

de ^ — da — dh^

ou, en appelant G une constante,

c = G — a — h\ on a donc

,r. j. sn^a — sn^b

sn(G — a — ù)= — 7 -. j—, — F-

^ ^ sn6cnaana — snacnôdno

Pour déterminer G, il suffît de faire — a= b'^ on a alors snG = o, et l'on peut prendre G = o : on trouve ainsi

. , . sn^a — sn^b

sn{a -\- à) =

su acnb dnb — snb cnadna

Multipliant haut et bas dans le second membre par

sn acnb dnb -h snb en a dna,

le dénominateur devient

sn^acn^bdn^b — sn^ b cn"^ a dn"^ a OU

sn2a(i— sn2è)(i — A-^sn26)— sn26(i — sn2a)(i — A'2sn2a)'

(sn2a — sn^b){i — k^ sn^a sn^b); et l'on a, toutes réductions faites,

,^ sna cnb dnb -+- snb cna dna

sn{a-+-b)= T- — rr

^ ^ 1 — k^sn^asn^b

Telle est la démonstration la plus directe que l'on connaisse de la formule d'addition des fonctions elliptiques.

Cette formule, en posant sna = s, cna = Cj dna^=d, snb = 5', cnb = c', dn6 = d', peut s'écrire

-. sc'd'-\-s'cd

on en tire

{\ — k'^s'^s"^Y — (sc'd'-^s'cd)'^ I - snH« + b) = (.A.,.,..).

THÉORIE DES F0?îCT10?{S ELLIPTIQUES. 21 [

n2(a-^6) \ — oA-^- s^- s'i -^ k^s^' s'-2 — s^-(j — s'^)(i —k^s'i) — s'-2(i — s'^)(i — k^s'^l'Y 2ss' ce' dd'

(i — 5M(i — s'^) -^ s'is'^ji — k^-s^-)(i — k^s'^) — iss'cc'dd'

OU, ce qui revient au même,

en a en 6 — dn a dn b sn a sn b

zh en(a+ b)

k^sn^asn^b

on prendra le signe + devant le premier membre, afin que la formule ait lieu pour b = o.

On calcule de même dn(a-\- b) et l'on arrive ainsi aux formules

sna en 6 dnè ± sn è cn<2 dna

sn(a zh b)

i — k^ sn2asn2 6

, -. cnacnb zjz dna dnb sna snb

cn{a~zb)= - ,. . „. >

dn{a±b)

I — A'2sn2asn2è

dna dn b ~ k^ sn a sn b en a en b I — /c2sn2asn2 6

XII. — Nouvelle méthode. — Théorème de Poncelet. Soient O et O' les centres des deux cercles {Jig. 9), soient

f'ig- 9

PP^ et QQ' deux tangentes infiniment voisines au cercle O'; soient R et r les rayons des deux cercles 0 et O' ; soient enfin

212 CnAPITRE Vil.

^ == 2(p, :^ = 2^, 00'== a. Les triangles MPQ et MFQ'

donnent

PQ WP

P'(^' "" MF ou

d^ VOT'^— r^ /R2 -f- a2 ^ 2 R g cos 2 4^"^^^ d'h ~ I 2 ~V R--4- «^+ 2Ra cos2cp

C0S2CÛ — r^

si l'on fait alors on aura

s/ 1 — k^ sin"2cp /i — Â-2sin2(^

Il résulte de là que, si sur la figure on trouve une relation finie entre les angles cp et tj>, ce sera l'intégrale de (2), et l'on aura ainsi un nouveau procédé pour intégrer la formule (2). Or on a, en projetant le contour O'OPM sur O'M,

a cos(o + <^) + R cos((|' — ^) = r ou

(a+ R)coscp cost]; +(R — a)sincp sint}; = r

ou encore

(Z^ cosçcost^H- TT sinosiinii=--

^ ' ^ ^\RH-a/ ' ^R-ha

De la formule (2) on tire

A2 sin2 [j.

{ji désignant la valeur de o pour tj; = o ; on conclut de là que.

THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 2l3

si l'on fait (]/ = G dans (3),

COSLI, = i

/(R-f-a I — A'2 sia2 }JL = I

4Ra (R + a)2— r2

~^ (R4-aj2 - (^R + a/ '

et la formule (3) s'écrit

coscp cos<|i ± /i — A:^ siii-îi. sincp s\n^ — cos|jl,

résultat déjà obtenu (p. 2o5). Jacobi, à qui l'on doit la méthode précédente, en a déduit la démonstration d'un théorème curieux de Poncelet. La formule (4) peut s'écrire

r"^'- do r^' d^ r^ d^

J^ \/r^k^m^ J^ y/i — A:2sin2(p J^ /i — A:^ sin^cp

en changeant cp en cp, et ^J; en cpo, ou encore en posant, pour abréger,

do r'* r^' r^

dm = '^ I dm — 1 dm = j dm.

Supposons que par le point P' on mène une tangente P'P'^ au cercle 7% soit F^ le point où elle rencontre le cercle R; par

le point P", menons encore une tangente P'^P'^' au cercle r,