VII

et,

en ajoutant,

dm

- / dm =

ou

encore

/ dm =

const

i) I dm

Supposons que le polygone PP'P'^ . . se ferme : alors on aura, par exemple, acp/^ = 2cp, -|- 2/?':r, /? désignant un nombre entier ou cp/^ =z cp^ -j-^tt; la formule précédente donnera alors

dm = const. — / dm.

La valeur de l'intégrale / dr^ ne dépend pas de Oj ;

la condition pour que le polygone se ferme ne dépend donc pas de (^4. Donc, si ce polygone se ferme pour une position particulière du point P, il se fermera quel que soit ce point. C'est en cela que consiste le théorème de Poncelet. Il peut s'énoncer comme il suit :

Si un polygone de n côtés peut être à la fois inscrit et circonscrit à deux cercles, il existera une infinité de polygones jouissant de la même propriété.

Ce théorème est évidemment projectif, et il subsiste, par conséquent, quand aux deux cercles on substitue deux coniques quelconques.

Le théorème de Poncelet est lui-même un cas particulier d'un autre théorème beaucoup plus général également trouvé par Poncelet, et que l'on peut énoncer ainsi :

Si les divers côtés d'un polygone toiichent une conique et que tous ses sommets moins un décrivent une autre conique, le sommet libre décrit une conique (voir Ghap. VTI, § 6).

THÉORIE DES FONCTIOxXS ELLIPTIQUES. 2l5