B'A BA

Supposons, pour fixer les idées, ^^^ < i ; on le posera égal à k'^j et l'on aura

par suite, en négligeant une constante,

z = tn{x \/BÂ'), 7 = 1 /- tn(.r /bX').

Les quelques difficultés qui pourraient subsister disparaîtront quand on aura lu le § 26 du Chapitre suivant. Dans ce paragraphe, on verra comment on peut mettre sous la forme a -+- bi les fonctions elliptiques dont la variable est imaginaire.

THÉORIE GÉNÉRALE DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES ET DES FONCTIONS AUXILIAIRES.

Jî. — Introduction.

L'étude des intégrales elliptiques nous a révélé l'existence des fonctions monodromes, monogènes et doublement périodiques. Lorsqu'une fonction possède deux périodes et qu'elle est monodrome et monogène, elle jouit par cela même d'une foule de propriétés curieuses qui en facilitent considérablement l'étude ; ce caractère de double périodicité fait que la fonction en quelque sorte est condensée dans l'un des parallélogrammes des périodes, et il suffît de l'étudier dans cette portion finie du plan. Nous allons donc nous proposer de résoudre cette question très générale :

Quelles sont les fonctions doublement périodiques monodromes et monogènes, et quelles sont les propriétés générales communes à toutes ces fonctions.

En nous plaçant à ce point de vue très élevé, nous rencontrerons les fonctions elliptiques et nous verrons leurs propriétés se dérouler avec une netteté merveilleuse. Nous supposerons une fois pour toutes que les fonctions dont nous aurons à nous occuper n'ont pas de points essentiels à distance finie.

>i IL — Premier théorème d'Arithmétique.

Etant donnés deux nombres quelconques a^ et a^y on peut toujours trouver des entiers m^ et nn^^ tels que

2l8 CHAPITRE VIII.

£ désignant un nombre donné aussi petit que Von veut^ mais fixe.

En effet, divisons a^ par «2» soient [jl< le quotient et a^ le

reste, moindre en valeur absolue ou tout au plus égal à — ;

divisons «2 par «3, soient [JI2 le quotient et «4 le reste, moindre

en valeur absolue ou tout au plus égal à — ? etc. ; on aura

d'où l'on tire, en éliminant «3, a/,, . . . , a/^,

niiai -i- m2a2 = cin+i, nii et /?2o désignant deux entiers ; or «3 << — > «4 <^

donc «3 < — ) aji<^Y^ ' - -i ^n+\ < r^^i^ <^/î+< P^^'- donc être supposé aussi petit que l'on veut, ce qui démontre le théorème énoncé.

Dans les Traités d'Algèbre on démontre aussi ce théorème au moyen de la théorie des fractions continues.