III. — Second théorème d'Arithmétique

Si l'on considère les quantités

hn+\ = ^imj-H 62/712+. . .4- bnUln,

au nombre de n — i , «i , <22, • • • 5 <^«> • • • 5 ^i > - - - -, In désignant n{n — i) quantités quelconques, on pourra toujours choisir les entiers m^^ m^, . . • , /W/j, de telle sorte que l'on ait à la fois en valeur absolue

Pour le démontrer, nous observerons que le théorème énoncé vient d'être établi en supposant les quantités an+i, bn+i, • • • réduites à une seule. Supposons donc le théorème démontré pour toutes les valeurs de 7^ inférieures à un entier donné que nous appellerons /i, et cherchons à l'établir pour le nombre n lui-même. Gomme il a lieu pour n = i, il sera démontré d'une façon générale.

L'une des quantités / au moins devant être différente de zéro pour que le théorème ait lieu, supposons /«^o : nous tirerons du système (i), en éliminant //Z/^,

««-4-1 — ^n+l-j^ = 7- [(«l^rt — lian)nii-\-. . .-{-{an-iln — In-iCln) ^n-i],

D'après notre hypothèse, on pourra toujours choisir les n — i nombres entiers 7?z<, /?Zo, . . ., mn-i-, de manière à satisfaire aux n — 2 conditions

(2) Un+i— In-hlY^f bfi-hl, — ^/i+1 7^> ...<5,

0 désignant un nombre aussi petit que l'on voudra; d'un autre côté, on pourra, quand cela sera fait, déterminer irin de manière que l'on ait (en valeur absolue toujours)

—r- OU — mi+ -p m2 4-...4- -7— m„i4-m„< -;

''Il f-n t'a t'a ^

il suffit pour cela de prendre pour nin l'entier qui se rapproche le plus de

/il k In-y \

— lj-mx-+-j-m2-^...-^-j—mn-i);

mais alors les formules (2) donneront

8, B', ... désignant des nombres compris entre — i et + i; on en déduira

Mais, 8 étant aussi petit que l'on veut, on voit que l'on pourra toujours faire en sorte que l'on ait, sinon

<^n-hi <. > t?„+i <, — j • • • ,

au moins

ou, ce qui suffirait pour notre objet,

si l'on voulait ne pas accorder cette dernière conséquence.

Ceci posé, on pourra toujours déterminer les nombres

entiers m[,, m'.^y ..., m\^^^, de telle sorte que, si l'on fait

««+2 = m'i «2 -+- m'a «3 + . . • H- m',i an -\- m',j+i «î^+i , 1 '

^«-+-2 = '^o ^2 + '^'s ^3 -+-•.. H- ni'n 1,1 -4- /?l'rt+i /«-f-l,

on ait <2,i^2 < T <^/i+f5 ^/z+2<^ ô <^/j+27 • • • ; cela fait, on pourra, en posant

^rt-f-3 = ^^3 «3 +• • •+ '^*/i+2 <^«4-2)

/?l.> /•» -T-. . .-T- Itln,^ l,

faire en sorte que an^z <i 5 (^n+2^ ^«+3 <C o ^/2+2 5 • • . , et ainsi

de suite. Or les nombres cin+ii ci,i+2, <^/i+^^ • • • décroissent plus rapidement que les termes de la progression dont la

raison serait ^; ils tendent donc vers zéro, et l'on peut poser

pour i suffisamment grand

«o bi, . . . , li<z.

Or q,i^i est une fonction linéaire à coefficients entiers de a^^ a-i, . • . , cifi', de même a,i^2 est une fonction linéaire à coefficients entiers de ao, «3, ..., CLn+i, c'est-à-dire de ai, a.2, . . . , a,i, et ainsi de suite; on peut donc poser

a^ = Ml «1 -h M2 a2 H- . . . + M„ a^, bi=z Mi^i + M262 -^- • .-f-M„6„,

Il =Mili -hM^h -i- . . . -f- M„ Ifi,

Ml, M2, ..., M,^ désignant des entiers et a/, 6^, ... des quantités moindres que e, ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.

Mais, avant de tirer des conséquences de notre théorème, faisons observer qu'il pourra arriver que l'on ait à la fois plusieurs relations, telles que

I miai-\- m2a2-^- . .-h mnCi/i = o, (3) \ rriibi-^ m^b^-^ ...-+- m, ibn — o,

il est facile de prouver alors que a^, a.2, . . . an-, s'expriment en fonctions linéaires à coefficients entiers de n — i autres variables; pour faire cette démonstration, on pourra supposer les a réels ou imaginaires de la forme a 4- p \J — i.

Soient en effet jn[^ le plus grand commun diviseur de m, et de 1)12 et [ji< , ^2 les quotients de m^ et 1712 par m'.^ : on pourra remplacer la première formule (3) par

( l-»-! «1 + (JI2 «2 ) ^2 -^ • • • + ^n <^n = O

OU bien, en posant

(4) (Xia,-f- (J.2a2 = ût2, par

(5) m'^a'^-^- mzai -+-... mna,i = o.

D'ailleurs, jj., et ^2 étant premiers entre eux, on pourra toujours trouver deux nombres entiers Vi et V2, tels que

(J.,V2 — Vi(A2 = I5

et, en posant

viaiH- V2a2 = <^i5

les valeurs de «j et a-i tirées de cette équation et de (4) seront des fonctions linéaires à coefficients entiers de d\ et «2 ; mais, par un procédé analogue, la formule (5) se ramènera à la forme

nx^ai^ -\- nij^ai.

rrinan = o.

D'ailleurs a'j et a^ seront fonctions linéaires et à coefficients entiers de a^ et d'une autre quantité a^; or a, et «2 étaient fonctions de à\ et de a^, linéaires et à coefficients entiers, donc <2,, «2 et «3 sont fonctions de même nature de a\, a"^ et a'g. En continuant ainsi, on arrive à la formule

et a^j «2, «3, . . ,^ an s'expriment en fonctions linéaires et à coefficients entiers de d\, a'^, . . . , d\^^ et de a\^. Or, a\^ étant nul, il en résulte que a^, a-i-, ..., a,i sont des fonctions linéaires et à coefficients entiers de d\^ d[^^ . . . , a'^, et, par suite, ces quantités ne sont pas distinctes. D'ailleurs il est clair que, si l'on a

on aura également, en appelant h\^ b\^ . nombres convenablement choisis.

des