IV. — Ce que l'on doit entendre par périodes distinctes
Quand une fonction admet une période, elle en admet une infinité qui ne doivent pas être considérées comme distinctes.
Supposons que co^, coo, • • ., ^n soient des périodes de/(z), il est clair que l'on aura
si 7711, m2, . . . , frtn sont entiers, et que
mi Wi -H /7Î2 W2 4- . . . -^ /?i,i co,i
sera encore une période.
On dit que des périodes tOi^Wo, . . . sont distinctes quand il n'existe pas entre elles de relation homogène, linéaire et à coefficients entiers.
Supposons qu'entre les périodes to,, too, ..., (i)n d'une fonction /(^) il existe la relation
(i) Wia)i+ m2W2-i-. . .-+- m„tO;i= o,
mi , mo, ... désignant des entiers non divisibles par un même nombre; soit mi le plus petit d'entre eux pris en valeur absolue. Soient q^^ ^3, ... et 7^2, 7^3, ... les quotients et les restes de la division de m^, Jn^-, ... par m^, (i) pourra s'écrire
/?ll 0)1 H- ( m, ^2 -T- 7*2 ) 0)2 -f-( 7711^3 -h 7-3)0)3 + . ..= O
ou
(2) 77liTni+ 7^2 0)2-4-. . .-i- r;iO)rt= O,
en posant
(3) CTl = 0)1+ ^'2^2 + . . .+ ^rtO)^.
TÎ7, désignera alors une nouvelle période, et il est clair que Wj estunefonctionlinéaire des nouvelles périodes TiTi, (02,^3, . .. , (jin à coefficients entiers, en vertu de (3). Traitons l'équation (2) comme (i), nous en déduirons une relation plus simple que (2), comme (2) était plus simple que (i), entre de nouvelles périodes m^^ 7»T2, CO3, . . . , 03,^, et W2 sera encore fonction linéaire, comme Wi , de ces nouvelles périodes, et ainsi de suite. Mais les équations telles que (2) vont toujours en se simplifiant; les coefficients finissent par s'évanouir, et l'on
voit que, finalement, to^, coo, ..., lOn sont des fonctions linéaires, homogènes et à coefficients entiers d'une même période. A ce point de vue, les périodes considérées ne sont donc pas distinctes.
