V. — Impossibilité de deux périodes avec un rapport réel

Une fonction monodrome et monogène dans toute détendue du plan ne saurait posséder deux périodes distinctes avec un rapport réel.

En effet, soient o) et ato deux périodes de la fonction /(ij) ayant le rapport réel a : alors, /?^^ et m2 désignant deux entiers, m< cj -h //loato sera une nouvelle période; or, a ne pouvant être commensurable, sans quoi w et «w ne seraient pas distinctes, car il existerait entre w et ato une relation linéaire à coefficients entiers, on pourra toujours choisir les entiers m^ et m2 de telle sorte que

et

mod(7ni w -+- /n2aco)< modsw;

la période ni^tù -\- n^2ai^^ peut donc être prise aussi voisine de zéro que Ton veut, et alors, en l'appelant a, on aurait

/(2) =/(^ -^ 3c),=:/(z + 2a) = . . .=/(z + /la),

z désignant un point quelconque.

Or, si la fonction y*(^) est synectique autour du points, dans un contour fini tracé autour du point z, Féquation

aurait une infinité de racines, ^ = a, 2 a, 3 a, .... ce qui est impossible.