VI. — Impossibilité de trois périodes

Théorème. — Une fonction monodrome et monogène ne saurait avoir plus de deux périodes distinctes.

En effet, soient to,, too, Wj trois périodes distinctes de la fonction /(:?) : alors, /?z,, 7?2o, în^ désignant trois entiers quelconques,

m? Wo -f- m-. (On

sera une nouvelle période, car cette quantité ne saurait s'annuler, (0,, cl>2, toa étant des périodes distinctes; soient

^4 = mi«i4- m2a2 -H ms^s, 6^ — m^ bi -i- 7n2 ^2 + nii ^3 ;

la nouvelle période sera égale à a, -|- br^sj — i. Or on peut toujours rendre (p. 218) a., et 6, moindres qu'une quantité donnée, en choisissant convenablement 7?2<, m^, m^] le module de la nouvelle période pouvant être alors pris aussi petit que l'on veut; en désignant cette période par a, on aurait /(;)=/(^ + a)=/(3 4- 2a) = . . . et l'équation f(z)^f(z-\-x) aurait dans le voisinage du point z une infinité de racines ^ = a, 2 a, 3 a, .... La fonction /(:;) ne saurait donc être synectique autour du point z.

Nous verrons, au contraire, qu'une fonction non monodrome peut posséder plus de deux périodes distinctes et même un nombre quelconque de périodes.