VII. — Périodes élémentaires

Etant donnée une fonction monodrome et monogène doublement périodique/(^) aux périodes w et m, on peut toujours supposer qu'il n'existe pas de période ù qui ne soit de la forme /nw + /zcy, m et n désignant deux entiers, car Ù ne saurait être distincte de w et nr; donc il existe des périodes telles que toutes les autres soient fonctions linéaires et à coefficients entiers de celles-ci. De telles périodes sont ce que l'on appelle des périodes élémentaires.

Il existe une infinité de systèmes de périodes élémentaires : L. — Traité d'Analyse, IV. i5

en effet, soient ca et nr un système de périodes élémentaires; deux autres périodes

tu' = atii -+- bw, tu' = a'to -i- b'w,

a, b^ a' , b' désignant des entiers, formeront un système élémentaire, s'il est possible d'exprimer to et tu en fonction linéaire et à coefficients entiers de to' et m'. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que ab' — ba' =^ zh i, car ab' — ba' ne saurait diviser à la fois a, 6, a', b' \ en effet, a, 6, a\ b'

ayant un facteur commun a, — et — seraient des périodes qui

ne pourraient pas s'exprimer sous forme linéaire à coefficients entiers à l'aide de a>' et m' .

Théorème I. — Deux parallélogrammes élémentaires^ d est-à-dire ayant pour côtés des périodes élémentaires, sont équivalents.

I et x' -\-y' ^ — I deux périodes ~i)^b{x'-\-y's/^)

En effet, soient x -\-y élémentaires,

a{x-^y et

a'{x-\-ys/—i)^b'{x'-^y's/—i)

deux autres périodes élémentaires. L'aire du parallélogramme de ces dernières périodes est

ax-\-bx' ay-\-by'

= Hz

ce qui démontre le théorème.

Théorème II. — Dans deux parallélograriimes élémentaires, la fonction f{z) passe le même nombre de fois par une valeur donnée.

Le théorème est évident pour deux parallélogrammes élé-

mentaires ayant un côté commun, vu qu'ils se composent d'une partie commune et de deux parties égales, dans Fin térieur desquelles la fonction acquiert manifestement des valeurs identiques. Pour démontrer le théorème, il suffira d'établir que l'on peut passer du parallélogramme ayant pour côtés (0 et w, au parallélogramme ayant pour côtés m et TTT,, au moyen de parallélogrammes intermédiaires ayant chacun un côté commun avec celui qui le précède et avec celui qui le suit.

Soient donc (o et w, un système de périodes équivalent au système m et in,, en sorte que

Wl =: bxLO -h bioi,

abi — bai = ±: i.

Pratiquons sur a et «j l'opération du plus grand commun diviseur et posons

b = biqi-\-bo, bi=b.2q2-^b„ ..., bn-i== b^qn-^ b„+i,

nous aurons

Tjy = «10)2 -^-«2^1, en posant 002= œ -f-^i(Oi,

Wi = 61 CO2 -T- ^2^1,

TîT = «2^3 -T-a3W2, 0)3= (Oj -î- q2(J^2,

THi = 620)3 —630)2,

Wi — b,i tiin'\-l -- b,i+\ <Mn-

Or l'opération du plus grand commun diviseur conduisant à un reste nul, on peut supposer an+i = o. De plus, a et ai étant premiersentreeuxjsansquoil'onn'auraitpasa^, — bai = ±: i, il faut que a,^ ==: i ; enfin on a

abi — bai= —{a^b^ — b^a^^^ ^{a^b^ — b^a^) = . . . ;

donc b,i+\ = I en valeur absolue, et l'on voit que l'on aura

ce qui démontre le théorème.