I. — De l'irréductibilité

Une fonction rationnelle de plusieurs quantités, «, ^, c, ... est le quotient de deux polynômes entiers par rapport à ces quantités; mais on donne parfois au mot rationnel un sens plus restreint : ainsi l'on dit qu'un polynôme en a^ b, c, ... est rationnel quand ses coefficients numériques sont euxmêmes des nombres rationnels.

Quand on veut étendre cette acception du mot rationnel, on dit quelquefois que l'on adjoint des quantités a, p, y, ... ; un polynôme qui n'était pas rationnel dans le sens que nous avons donné tout à l'heure devient rationnel, s'il l'est par rapport à a, ^, c, ... et par rapport aux quantités adjointes a, [i, y, ....

Par exemple, x- — 2 \J'ax -\- 1 n'est pas un polynôme rationnel, mais il devientrationnel, si l'on a<i/'o«V?^ le radical y/2.

Les quantités adjointes peuvent être en nombre infini; on peut adjoindre, par exemple, toutes les irrationnelles réelles ; on peut adjoindre tous les nombres, mais non les imaginaires ; on peut adjoindre tous les nombres, même les nombres imaginaires. On peut adjoindre à un polynôme tous ses coefficients et même leurs racines carrées, etc. Un polynôme F(^) entier en x est dit irréductible quand il n'admet pas de diviseur rationnel. Une équation algébrique F(^) = o est irréductible quand son premier membre est un polynôme irréductible.

L'irrédiiclibilité d'un polynôme ou d'une équation dépend donc de la manière dont on définit les polynômes rationnels. Tel polynôme irréductible devient immédiatement réductible par V adjonction de certaines quantités.

Par exemple, le polynôme x'^ — 2 est irréductible; mais il acquiert les diviseurs rationnels x — y/2 et .r -f- y/2, si l'on adjoint l'irrationnelle y/2.

Ainsi, toutes les fois que nous parlerons d'un polynôme ou d'une équation irréductible, il sera sous-entendu que la définition des quantités rationnelles a été donnée avec précision.

Nous commencerons par démontrer, ou par rappeler une proposition fondamentale sur les équations irréductibles.

Théorème. — Si une équation algébrique f[x) = o, dont le premier membre est un polynôme f{x) rationnel, admet une racine d'une équation irréductible ¥{x)-=. o, elle les admet toutes, et Von a

(I) f{oo)=[¥{x)Yi(l,

q désignant un nombre entier et Q un polynôme qui ne s'annule pas avec F(^).

En effet, si y = o et F = o ont une racine commune, /et F ont un diviseur commun D, qui sera nécessairement rationnel, puisqu'on pourra le trouver par la méthode du plus grand commun diviseur qui n'introduit pas d'irrationnalités autres que celles qui existent dans / et F et qui sont censées adjointes.

Ce diviseur commun ne peut être que F(^); car, si F(^) avait un diviseur autre que lui-même et rationnel, il ne serait

pas irréductible; de deux choses l'une, ou {},^ [ et F(^) n'ont

pas de diviseur commun, ou F(^) est encore ce diviseur commun, et ainsi de suite; si /(^) admet le diviseur [F(^)]^,

22 CHAIMTRK II.

f(x) , et si r^-^ — yT- n'admet plus de diviseur commun avec/(^), on

aura

Q désignant un polynôme entier, ce qui démontre la formule (i).

Le théorème en vertu duquel, si une équation à coefficients réels admet n fois a + |3 y/ — i pour racine, elle admet aussi n fois la racine a — [6 \/ — i , est un corollaire de celui-ci ; dans ce cas,

' On appelle /o/îc//o/i algébrique de plusieurs variables Xx, X2y . . ., x,i une fonction y de ces variables dont la valeur est donnée par une équation irréductible

/(^i, X,, ..., xn,y)= o,

c'est-à-dire telle que/* désigne un polynôme entier en ^,, •^2, . . . , ^/i, y n'admettant aucun diviseur rationnel par rapport à ces variables. Sont donc considérées comme adjointes toutes les quantités indépendantes de ^,, x.ji •.., x,i ety. Nous n'étudierons guère dans ce qui va suivre que les fonctions algébriques d'une seule variable; elles sont définies, d'après ce que l'on vient de dire, par des équations irréductibles de la forme

c'est-à-dire telles quey*(:r, y) désigne un polynôme qui n'admet pas de diviseur entier en x et y. Si/(^, y) admettait un tel diviseur, il pourrait se décomposer en facteurs o{x, y), '^{Xp y), . . . irréductibles, et alors chacune des équations

servirait à définir une fonction algébrique : toutes ces fonctions algébriques seraient en général distinctes.

C'est ce qui ressortira plus clairement de l'étude que nous allons faire aux paragraphes suivants. Bornons-nous à faire observer que les équations cp = o, ^ = o ne peuvent définir des valeurs dey toujours égales, quel que soit^, que si cp et di sontidentiquesàunfacteur constant près, puisque ces deux équations sont irréductibles.

Une fonction algébrique ne peut satisfaire à la fois à deux équations irréductibles différentes .

Sans quoi, ces équations auraient un facteur commun nécessairement rationnel, puisqu'il serait donné par la méthode du plus grand commun diviseur, et ne seraient pas irréductibles.

\J ordre d'une fonction algébrique est l'ordre de l'équation irréductible qui sert à la définir: cet ordre est compté ordinairement par rapport aux deux variables x ety, mais on peut l'estimer quelquefois par rapport à la seule variable y.

Une fonction algébrique, d'après ce que l'on a vu (t. III, p. 348), est continue, monodrome et monogène à l'intérieur de tout contour ne contenant pas de point pour lequel l'équation irréductible qui la définit acquiert une racine multiple ou infinie.