VIII. — Propriétés générales des fonctions à deux périodes
Avant de nous inquiéter de savoir s'il existe des fonctions monodromes et monogènes possédant deux périodes, nous étudierons a priori les propriétés dont doivent jouir ces fonctions, si elles existent; ces propriétés, connues, nous guideront dans la recherche des fonctions en question.
Théorème I. — L'intégrale d'une fonction doublement périodique le long d'un parallélogramme des périodes est nulle (^ ).
En effet, le long des côtés opposés du parallélogramme, la fonction reprend les mêmes valeurs; mais, comme ces côtés sont parcourus en sens inverse, les intégrales partielles relatives à ces côtés se détruisent. c. q. f. d.
Ce théorème fondamental est de M. Hermite.
Théorème II. — Une fonction doublement périodique a au moins deux infinis dans chaque parallélogramme des périodes.
En effet, en vertu du théorème précédent, son résidu est nul, ce qui ne pourrait avoir lieu si elle ne possédait qu'un infini.
Théorème III. — Dans chaque parallélogramme lafonc-
(*) Il ne sera question dans ce qui va suivre que de fonctions monodromes et monogènes, ce qui nous dispensera de répéter sans cesse ces adjectifs; nous les supposerons également sans points essentiels à distance finie.
tion doublement périodique f{z) passe par tous les états de valeurs, autant de fois qu'elle passe par V infini.
En effet, le résidu étant pris à l'intérieur du parallélogramme, on a
n désignant le nombre des zéros et v celui des infinis de/(3); mais, en vertu du théorème I,
car ~~ est doublement périodique, donc n=y: mais la
fy) \ ^ '
fonction doublement périodique y( 5) — a a les mêmes infinis que/(^); donc le nombre de ses zéros est ^, donc enfin /(^) passe n fois par la valeur a.
Nous appellerons ordre d'une fonction doublement périodique le nombre d'infinis qu'elle possède dans un parallélogramme des périodes.
Théorème IV. — La somme des valeurs de la variable z pour lesquelles une fonction doublement périodique prend une même valeur dans un même parallélogramme des périodes est constante.
En efî'et, considérons les valeurs de z pour lesquelles on a
f{z) = a ou f(z)—a=o,
f{z) désignant une fonction à deux périodes, l'intégrale
dz
est égale à la somme des zéros diminués de la somme des infinis de f{z) — a; soient donc o- la somme des infinis de f{z), et s la somme des valeurs de z pour lesquelles/(5) = a,
on a
'zf'(z)di
23o CHAPITRE VIII.
Soient 03 et w' les périodes de/(^), l'intégrale précédente étant prise le long d'un parallélogramme de côtés to, to', nous pourrons écrire, en appelant Zq un point quelconque,
mîiïsf{z-\-i>)) = /(z),f{z-hiù')=f{z), ..., donc
ou
mais/(2:o4- (o')=/(go), donc
;== ( w log I — to' log i) = 5 — a ;
mais log i est de la forme ini'iz y/ — i , donc
s — a — 771 10 -H m' o)', m et m! désignant deux entiers. On a donc
Le signe ^ sera désormais employé pour exprimer une égalité dans laquelle on néglige des multiples des périodes.
Corollaire, — La somme des zéros est donc égale à celle des infinis quand on néglige les multiples des périodes.
