IX. — Des fonctions auxiliaires
Nous allons maintenant chercher à former de toutes pièces des fonctions possédant deux périodes ; de telles fonctions ont
DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 23l
leurs zéros et leurs infinis régulièrement distribués dans le plan, et on peut les considérer comme des quotients de fonctions ayant leurs zéros régulièrement distribués, mais ne devenant infinies que pour des valeurs infinies de la variable (t. III, p. 371). Voyons si de pareilles fonctions existent et cherchons à les former.
Soit 8 [x) une fonction toujours synectique, ayant ses zéros régulièrement distribués dans le plan, comme ceux d'une fonction à deux périodes co, rn. Si l'on déplace parallèlement à lui-même le parallélogramme des périodes, il devra toujours contenir le même nombre de zéros et, par suite, l'intégrale suivante prise le long du parallélogramme en question
dx
devra être toujours égale au même nombre entier quel que soit le point de Zq par lequel on fera passer l'un des sommets de ce parallélogramme. Intégrons donc le long du parallélo-
Fig. 10.
J"o+ to
gramme ayant pour sommets XQ^XQ-\-iù,XQ-\-iù-\-Ts5,XQ-{-m {fis- ^^) ^^ écrivons que le résultat est égal à l'entier ?, quel que soit Xq ; nous aurons
On satisfera à cette équation en posant
0(07 -i-to) G(^-)~^' 6(^-1-^) ^{x) ~ '
les constantes a et b satisfaisant à la relation
(i) arj! — b(M = 27:1 y — i ;
si l'on intègre les équations précédentes et si l'on passe des logarithmes aux nombres, on trouve
a' et b' désignant de nouvelles constantes. Les fonctions qui satisfont aux formules (i) et (2) et qui ont leurs zéros distribués comme ceux des fonctions à deux périodes sont ce que l'on appelle des fonctions auxiliaires (^).
Si l'on connaissait des fonctions 9 et 9, satisfaisant à ces
formules, il est clair que -^ serait doublement périodique et
posséderait les périodes to et nr; occupons-nous donc des fonctions auxiliaires.
Quand on change x en x -^ w, la fonction g^x'+Bx+c g^ trouve multipliée comme la fonction 0 par une exponentielle dont l'exposant 2Ato^ + Bco + Aco^ est linéaire; si donc on pose
2Aa)-T-a=o, Aw2 4 B(jj-i-a' = o ou
2tO
2 OJ
la fonction
\ qXx'-+^x+C
sera
telle qi
le
Aix4-to)»+B{j?+wH-C
ou
f{x 4- w) = e(a;)eAxs+Bx+c =f{x).
(*) M. Hermite appelle aussi ces fonctions doublement périodiques de troisième espèce.
On a ensuile
f(^CC-^w)=(i{x+Tn) eA(.r+CT)î+B{x+nT) +-C
ou, en vertu de la seconde équation (2),
g et h désignant les constantes
^ = 2Xw -\- b, h = Xvy'^ -hBw -i- b'.
Remplaçant b par sa valeur tirée de (i) et A, B parleurs valeurs (3), on trouve
1 tir i/ — I
la quantité h dépend de la constante arbitraire b', si bien que Ton a
( /(^ + w) = /(^), (4) !!!^.-HA
On voit donc que l'étude des fonctions 9 est ramenée à celle de» fonctions 0 satisfaisant aux relations
( e(x-+-m) = e{cc)e "^ \
qui ne diffèrent de (4) que parce que l'on a mis la constante h
, P lire J — T
SOUS la lorme c.
L'étude de la fonction B sera plus simple que celle de la
fonction 9, parce qu'elle renferme moins de paramètres, et
aussi, surtout, parce qu'elle possède déjà une période cd.
Deux /onctions auxiliaires qui ont les mêmes zéros ne peuvent différer que par un facteur de la forme e^^'"^^^^^' dans lequel A^ B, G sont des constantes.
Soient, en effet,Q(x)et8i(^)les deux fonctions en question :
si elles ont les mêmes zéros, elles ont aussi les mêmes périodes Cl), m, et l'on a
e (ic -H w) = 0 (a7)e«^+/^
^i(x -{- 0))= 0i(iJ7)ea^+?
0,(37 -^ny) = ^i{x)e^'^+^' ;
on conclut de la première
dx dx
<^^2 dx'^
*i r .• <i2iog6(a7) û?2iog6,(57) . 1 11 ^ '
et les lonctions ~-^ — -•> -^-^^ — - sont doublement périodiques, leur différence est donc doublement périodique; mais B(^) et 9i(^) ayant les mêmes zéros et pas d'infinis ne peuvent différer que par un facteur exponentiel e?^-^^, oùo(^) représente une série ordonnée suivant les puissances de x^ c'est-à-dire une fonction toujours finie, excepté pour ^ = oo. Or la différence
^2l0ge(^) <i2log0i(a7)
~dx^ 5^2
est égale à cp'^(^); cette fonction est doublement périodique comme cp(^) et a ses infinis, c'est-à-dire ne devient jamais infinie; donc elle se réduit à une constante 2 A, donc 'f (^) est bien de la forme cp(j;) = A^^ -f- B^ -f- C.
