X. — Développement des fonctions auxiliaires

Nous voilà donc ramenés à trouver une fonction satisfaisant aux équations

(i) 0(^ + oj)=e(;r),

(2) 0(a? + Tn;) = 0(;r)e «^ ' .

: La fonction 6, devant être synectique dans toute l'étendue

du plan et devant posséder ]a période to, si on la compare à

la fonction z^= e ^ , sera une fonction synectique de celle-ci ; car, quand on se donne ^, ^ a une infinité de valeurs de la forme x-{-mLù^jn désignant un entier; 6 (^ ) = 0 (^ + m w) n'a alors qu'une seule valeur pour chaque valeur de z et l'on pourra développer 0(^) suivant les puissances ascendantes et descendantes de z\ posons donc

en faisant A,j = e ^ ; on a alors

En vertu de (2), on doit avoir

en égalant les coefficients de e "* , on a

nv5 -H cp(Ai) = cp(n 4- t) — ic ou

cp(Ai + i) = cp(n)H- nrn -h ic, on en déduit

o(n -^ 21) ■= ^{n -h i)-\- (n -h t ) tïï + ic,

^(n -h [xi)= (^{n -i- [X — i i)-^{n -\- [xi — t)r5 4- ic, d'où l'on conclut, en ajoutant,

, ., , , •2/H- (Xt — i cp(/i-i-(JLt)=cj>(/i)-HTn I-"- + I^ ^^-