C II APURE VI II

Ainsi, cp(o), ^(i), . . • , o{i — i) restent arbitraires et, en fai-

sant e ^ = A,,, on voit que l'on peut poser

/ e(:p) = Ao0o(^)4- Al 61(^)4-... + A,-i0,-i(a^-), (3) je,(:r)= 2 e-^r^^""-^^"^^-^'^'^^^'^J.

La fonction 0«(^) est bien déterminée, car la série qui la représente peut toujours être supposée convergente. En effet, la racine y^""^^ du terme général tendra vers zéro pour

p. = 00, pourvu toutefois que la partie réelle de soit

négative, ce que l'on peut toujours supposer en changeant, si l'on veut, le signe d'une période.

En résumé j les équations (i), (2) admettent une solution renferm^ant i constantes arbitraires, et les fonctions (-) qui ont i zéros dans le parallélogramme des périodes, fonctions que nous appellerons fonctions auxiliaires d'' ordre «', sont linéaires et homogènes de i d'entre elles.

Ce théorème est encore vrai pour les fonctions B plus générales. Soit, en effet,

am — b(jL> = '2T.î^ — i; si, pour ramener la fonction 9 aux fonctions 0, on pose

on trouvera

e (x)== Ao6o(:r)+ A,6,(:r)...A,i6,i(;r),

et par suite on voit que :

Toute fonction d'ordre i est une fonction linéaire et homogène de i d'entre elles.

Cette propriété est fondamentale.

Avant d'aller plus loin, nous ferons observer qu'il existe des fonctions d'ordre zéro et que ces fonctions sont de simples exponentielles; en effet, les fonctions d'ordre zéro doivent satisfaire aux relations

0(:r)= 0(;r)eAr»+B.r4-C^ 0(a7-t- to)= 6(37),

La fonction 0 d'ordre un, restant finie dans le parallélogramme des périodes et possédant les deux périodes w, w^ doit se réduire à une constante, et par suite ^{x) est de la forme

Q Qkx'-hhx-i-C

G désignant une quantité indépendante de x.

Les fonctions 0 du premier ordre sont de la forme

(X = -J-ao 27rv/~r U.(lX--l) -]

XL — Sur les racines de ^{x)= o.

Considérons la fonction 8 définie par les équations

^^^ . ( 6(a;-FnT)= 6(ar)e/^^+/-'',

axjy — boi = lÏT. \J — i .

La somme s des racines contenues dans un parallélogramme des périodes to, ttj est donnée par la formule ,

l'intégrale étant prise le long du parallélogramme. Cette for-

mule peut s'écrire

2Tzs\/—i= I \ -r-. — riP— 777 (œ-^w)\dx

or, en vertu de (i),

6(07 + 0)) 0(iP) ' e(:r-+-TiT) e(^)

on a donc

ou bien, en intégrant,

(2) iizssJ — I = w 10^777-7 — ^Aog^T— - -\-a b h (a — 6)wn7.

Mais

e(TîT) ,, / —

m et n désignant deux entiers; la formule (2) donne alors