XVI. — Nouvelle forme des fonctions auxiliaires

On peut mettre les fonctions auxiliaires sous une infinité de formes différant, comme on l'a vu, par un facteur exponentiel de la forme e^^'^^-^"^^; l'un de ces facteurs se présente tout naturellement. On a, en effet,

ce que l'on peut écrire

^,(R-(Xa-v/:il-[xSK'*)

Si donc on pose

6'(^)=^zte^

on aura

et il est facile de voir que l'on a

on a d'ailleurs, en changeant :r en ^ + 2K dans (i),

OU

La fonction 8' est donc du second ordre, aux périodes 2K et 4K.'y/ — 1, ses zéros sont ceux de ©(^), à savoir K'y/ — i et 3R'y — I ; la fonction 9' est donc fonction homoj^ène et linéaire des fonctions obtenues en faisant, dans les équations (3) du paragraphe précédent, co = — 4K^v — ^' ^:=2K, 2C^o. Nous prendrons 2C = 2K et nous aurons les deux fonctions

en posant alors p ^= e ^\ on pourra écrire ces fonctions ainsi, en faisant abstraction d'un facteur constant,

La dernière de ces fonctions s'annule pour x = K'y/ — i : elle est donc égale à Q' à un facteur constant près. En posant de même

on voit que 6', sera une fonction linéaire et homogène des deux fonctions (4); la première de ces fonctions admet pour période 2R'y/ — i ; si donc a est un de ses zéros, a+ 2R'^/ — i en sera un autre; la somme des zéros est une période : donc 2a 4- 2K\/ — I ^ o, donc 2a ^ 2R'y/ — i, donc a est égal à K'y/ — 1 plus une demi-période; donc

a=rK + KV^ ou a = 3K'/^ ou — K'/^.

Mais — R'y/ — I ne peut être racine quel que soit/?, donc a = R -h K-V — * • c'est un zéro de Si [x) ; ainsi la première des fonctions (4) est égale à ^\[x)^ à un facteur constant près.

On démontrerait exactement de la même façon que les fonctions

sont, à des facteurs constants près, égales à Nous poserons

— TZ ce — 3 TC ^

9(ar) = 20*cosh — =^, -f- 2p*cosh — r^ +. . .,

, , ,77 37 , ^ 11ZX

^{x)~i-^ip cosh -r^,' -\- ip'* cosh — — h. . .,

, . ^ . , TZX f . 371.2?

T, (^) — 2/>*smh -—-7 -i- 2p*sinh — — - +. . ., ^ 2K ^ 2K

Y)i(ar) =1 — 2/>cosh -^, + 2/)^ cosh -— ^ —

'Nous aurons alors, en appelant G une constante,

TT.r-

si, dans cette formule, on change x en x -\- Ry/— 1, on a

U+KV=Î)' 7lv/=^, ^, ^.

ou, réductions faites,

En changeant jî; en^ 4-K, puis, de nouveau, encc -\-K.\— i, on constatera que l'on a

Il reste à déterminer la constante C, ce que nous ferons plus loin.