XVII. — Formule de Cauchy
Posons
Il est facile de voir que Ton a OU bien
(2) Fiq^zXqz 4- q^'^) = ¥{z)(l + ^2«+l^).
Or on peut poser
(3) F(z)= AoH-Ai(^-T-z-i)+ A2(z2 + ^-2) + ...-}-A„(^« + i;-«),
Ao, A,, . . . , A^ désignant des coefficients indépendants de^. Si l'on remplace dans (2) F(^) et F(q-z) par leurs valeurs tirées de (3), on trouve
{qz ^ q^'^)[Ao-h kiiq'-z -^ q-^z-'^)-^ . . .-h Aniq^^'z'^ ^ q-^^z-" )] = (i H^2«+i^)j-Ao+Ai(ij-f-^-i)-i-...+ A„(^« + z-")];
en égalant alors les coefficients des mêmes puissances de z dans les deux membres, on a
Ao^ -i-Ai^2«+2==Ai-4-Ao^2/î4-i^
A,^3| A2^2n-h4=: A2-+- Ai<72« + 1,
OU bien
Al = Ao ; -——. q,
Ao= A(
j — qïn+i , q'Lti+k
on déduit de là
Pour déterminer Aq, on observe que A;, est évidemment égal à q,q^ ,q^ , . . ^2«+i ^«*. j^ dernière formule (4) donnera alors
ou
Des formules (i), (5), (6), on tire
l (i + qz){i + qz~^) . . . (i + q^^-^z){i -4- q^"-^z-^)
Nous allons maintenant supposer n=:cc; le premier membre de cette formule devient alors le produit infini
TT(l + ^2«^l^)(l i ^2«+l^-l).
La fraction qui entre en multiplicateur dans, le second membre peut s'écrire
et, par suite, a pour limite -^ La formule (7) devient
alors 1
Désignons par Sm^i la somme des m -h i premiers termes de la quantité entre crochets, R/n+i la somme des termes suivants, on pourra toujours prendre n assez grand pour que Ton ait
£ désignant une quantité de module moindre qu'une quantité donnée a. Quant à Rw+u si l'on appelle ^ le module de q et V celui de jz^ il sera de module moindre que
or on peut toujours prendre m assez grand pour que cette quantité soit moindre que a, car la série précédente est convergente, même lorsqu'on la divise par [jl'"; m étant ainsi déterminé, n étant indépendant de m, on peut toujours faire en sorte que mode <^ a, et alors
ao 00
TT(l -+- ^2«+l^) (i ^ 9r2«+l^-l)TT(i ^2«) 1 1
différera de Sm+i d'une quantité dont le module sera moindre que 2a; on peut donc dire que cette quantité est égale à la limite de S,„^| et, par suite, on a
= '+î(^ + y-î'(^^+^)-----^-?"'*(^"'+j^)+.... Telle est la formule de Cauchy que nous voulions obtenir.
XVIII. — Développement des fonctions auxiliaires en produits.
Si, dans la formule de Cauchy, démontrée au paragraphe précédent,
7t.rv/-l K'
on fait ;î = e ^ ^ q =z e '^j il vient
1T(I— ^^'OTT( '+ 2(72/1+1 COS^ + ^r^i+sj 1 1
— I -f- 2 > 5^"' COS/l - - = 6i(a:).
On trouve ainsi le développement de 0| (.r) en produit et, en changeant .2: en.2: + K, en^ + K\/ — 1 eten ^-f-K + K'y/ — i , on obtient ceux de 0, H, et H. On a alors le groupe suivant de formules :
6 {x) — I l(l — 72/1 )( I '2^C0S— + ^^)( I — 2^3cos-— -f- <7^
H (.r)=2^^JJ(i-^2«)sin^
/ „ '^X \ / , 'KX \
xf 1—2^2 cos— -^q*\[ i — 2q*cos—-^g^j..., X ( 1 + 2 ^2 cos -j^ + ^* j ( I + 2 ^r* cos -^ -T-
Ges formules qui sont très utiles, fournissent dés identités curieuses quand on y suppose x ~ nous dispenserons de les écrire.
curieuses quand on y suppose œ =z o, .r = Kou:rr= — ; nous
Les fonctions 8, 'i\, 8,, v], donnent lieu à des formules
analogues.
Quand on pose dans la formule de Gauchy q z= p z= e
et ^ = e '^ , on trouve
TT( I-f- 2j02«+lcOsh ^ +/>*«+2\TT(j^2«) 1 1
V^ „ , JITZX
re qui donne le développement de 8i [x) en produit. En traitant cette formule comme celle qui est relative à la fonction 64, on trouve les développements suivants
8 (37) = 2/?*P cosh — ^77
X ( I-h 2/?2cOsh -r^ +/^*)( ' -^ 2/)*C0Sh -— +/>8 J . . .,
