XXV. — Formules d'addition
Considérons la fonction H(^ + a))^[x — «)= ^{^)\ elle satisfait aux relations
elle est donc du second ordre aux périodes aK et 2K' ^— i , et par suite elle est fonction linéaire de deux fonctions quelconques satisfaisant aux mêmes formules; or 0^ ^^^ et H2(^) satisfont à ces équations ; on peut donc poser
Pour déterminer A et B, on fera œ =z o el x =^ a successivement, ce qui donnera
— H2(a) = A02(o), 0 = Ae2(a)-+-BH2(«),
d'où l'on tire
A = Ii!i^\ B^^'^""^
et, par suite,
en^^HV^r) — H2(a)0'(a;)
En raisonnant d'une façon analogue sur les fonctions
H{x — a)Q{x-{- a), H(^ — a)Hi(a7 -4- a),
on formera le Tableau de formules que voici :
eHa)HHx)—nHa)QHcc) 62(0)
(1) \ Il{x — a)lli(x-\-a)
ll{x — a)Qi{x-i- a)
H,(a)e(a)„. , ^ . , H(a)e,(a)^, .„ . , - ' ll{x)&i{x)— „\„\^' . e(a7)Hi(a^);
Hi(o)e(o)
&H(i)eHx)—}iHa)HHx)
62(0) 6(^7 — a)ll{x -i- a)
__ lîi(a)6^(a)Uix)e(x)-^U(a)&(o:)Ui(x)ei(x)
- ei(o)Hi(o) '
(2) / 6(J7 — a)Hi(a7 + a)
e(a)&i(a)ii(x)Hi(x)—U(a)Q(a)e(x)&^(x) 6(0)6,(0)
Q{x — a)Si(x 4- a)
Hi(a)6(a)H(a^)6i(a7)— H(a)e,f^)6(.r)Hir.r)
En divisant (i) par (2) et en ayant égard aux formules qui donnent sn^, cn^, dn^ en fonction de H(^), ©(^), H^ (jc), (■), (^), on trouve
%xi{x -^ a)
sn^x — sn2<2
snx cnadna — sna cna; dna?' en multipliant haut et bas par
sn a? en 37 dn a -f- sn a en 37 dn a?.
il vient
sn(a7-i- a) =
(sn^rp — sn2a)(sn.a7 ena dna -f- sna cna? dn.r)
sa^x cn'^a dn^a — sn^a cn^^? dn^a?
(sn'a? — sn^a)(snx cna dna -f- sna enar dn.97) sn2a7(i — sn2a)(i~^*sn2a)— sn2a(i — èa^x){i—k^sii^x)
En effectuant les calculs indiqués et en observant que sn^^ — sn'-a entre comme facteur au dénominateur, on a enfin les formules suivantes; en changeant x en a et a en è,
sn(a ± b) = cn(a liz fe) = dn{a±b) = tn(a±/y) =
sna cnb dnb ± snb cna dna
I — /c'^ sn'^ a sn'^ b en a en 6 zpsna sn6 dna dn6
\—k^sn^asn^b '
dn a dn b zi;z k^ sn a snb en a en b i — k'^&n^a sn^b ina dnb ±tnb dna
in a tnb dna dn6
De ces formules on peut en déduire une multitude d'autres qui ont plus ou moins d'analogie avec les formules de la Trigonométrie, par exemple
ou
si]{a -\- b) -h sn{a — b) — sn(a-f-6)— sn(a — b) — en ( a -4- 6 ) -!-. en ( a — b ) — cn(a -^ b ) — en (a — b ) = dn(a-r-è)-T-dn(a — b ) — dn(a + 6) — dn(a — b ) —
G snacn6 dnb, G sn6 ena dnrt, G ena cnb,
— G sna sn6 dna dn6, G dna dnè,
— G k^ snasnb cna cnb,
k'^ sn^a sn2 6
XXVI. — Formules usuelles déduites de la considération des fonctions auxiliaires.
Les valeurs de sn^, cnjp, dn^r, pour des valeurs particulières de la variable x se déduisent facilement des propriétés des fonctions 6, H, 0,, H, et des formules suivantes qui pourraient servir de définition à sn^, cn.r, dn^, si elles ne s'étaient pas tout d'abord présentées dans le calcul des intégrales ordinaires; nous nous bornerons à écrire ces formules,
leur démonstration ne présentant aucune difficulté :
I U(x) ^ /F Ui(cc) , /y-, e,(^)
sna7=— r-— — f, cna7 = 4/-^-— ^ — , dncc = ^k'--^ — ,
snx a pour périodes 4K et iK'\/~i,
cna; a pour périodes 4K et 2K -4- 2 K' y/ — i ,
dn^r a pour période? 2K et 4K'v/— ^ i?
sna? s'annule pour a? = o et 2K,
cna7 s'annule pour or = K et — K,
dnx s'annule pour x = K-i- K'/— i et — K — K'/ — f,
sn^, cn^, dn^sontinfinispour ^ = K\/ — i et2K + R\/ — i .
sno = o, cno — I, dno = t,
snK = i, cnK=o, dnK = A',
sn2K — o, cn2K =; — i, dn2K = i,
snK'/ — i=oc, cnK'y/ — 1 = se, dnK'y/ — 1 = 0:,
sn2KV — I = o» cn2KV — i = — i, dn2KV— 1 = — i>
sn ( 2 K -f- K' y/ — i ) = oc, en = oc, dn = ce,
sn(iK -^2K'^— i) — o, cn = -hi, dn — — i,
sn(K-i-K'/ — 0=y' en = ,- y/ — i, dn = o,
sn — X — — sniT, en = cno^, dn = dn:r,
sn(2K ziz ir) = iz: sna7, cn = zjzcn^, dn = dnrr,
/,,, / \ I 1/ — I f'n^ 1 / cna7
sn( K y/ — 1 -t-x ) = , en = — -^—7 — , dn = — y/ — 1 ,
ksnx k suit' sn;^.'
^ cna? ,, sn^r . k'
sn(K-{-a:) = -, , on = — k -, — , dn ~ -; ,
dna? dn^ dna?
sn(2K'y/— 1 + ^) = sna7, en = — cnar, dn = — dn.r.
Quand on change K en K^y/ — i et K^ en R \j' — i , les quan-
tités q ou e ^ et p ou e ^' se changent l'une dans l'autre; de même k et /f' se changent également l'un dans l'autre en
ei{o)
62(o) (1 — 2^-4- iq'* — .
ef(o)
vertu des formules (p. 246 et i5o)
nf(o) 7)2(0) {ig'^-h-9.q'^-^...y
(H- 2jD+ 2jO*H-. . .)^
En écrivant alors 0(^, A"), H(^, /r), . . ., sn(^, A) ... au lieu de S{x)j H(^), . . . , sn^r, . . . , afin de mettre le module en évidence, on a,encliangeantKenR'^— i etK^^ — i en K,
KV— 1 Ky/— i
on en conclut (p. i5o)
de même
ei(x,k') = ^i(x^^^i,k),
U(x,k')=-L=r^{xs/-i,k),
U^ix,k')=^{xs/-i,k), d'où l'on conclut
sn
/ / j\ / sn{x, k') / / .A I
/ / ,\ fln(a^, k')
