XXVII. — Théorème de M. Mittag-Leffler

Etant données des fonctions partout synectiques

excepté en a^ «27 • • • > et par conséquent que Von peut supposer développées en séries entières par rapport à 3

7 • • • ? il existera des polynômes V^, P2, . . . entiers

en X qui rendront convergente la série

(1) (Pi-^Gi)-+-(P2-i-G2)-t-... + (P«+G„) + ...

partout excepté en a^^ a^-, , . . , a^ ....

En effet, décrivons de l'origine comme centre avec un rayon infini R un cercle, décrivons autour de chaque point a^ comme centre un autre cercle de rayon r^ assez petit pour qu'il ne contienne aucun des autres points a^^a^-, ... ; si c'est possible on aura

,,/37G,Y !),= foj-^) -^

les intégrales étant prises le long des cercles de rayon R et r^. La fonction G( ) tendant vers zéro pour ^ = oc

(p. 247, t. III), la première intégrale qui figure dans cette formule sera nulle et l'on aura

\x — a.J J^.^ \z — a^lx — z

r ^ ( I \ r I x iPl^-i x"^ ] j

nous pourrons donc poser

Pv désignant un polynôme entier en x de degré [i. que nous allons déterminer de manière à rendre la série (i) ou, ce qui revient au même,

convergente.

Soit av le module de «v ; soient Mv le maximum du module de Gv sur le cercle Tv, p le module de ^ : le terme général de la série (2) aura un module inférieur à

"m., JÏJH M

(av— rv)!^(av— rv— p)

OU a

ITZM^

(av— rv)!J-(av— ;\ — p)

la série (2), et par suite (i), sera convergente si [x est choisi de manière à rendre

(a^—ry)[^{ccy—r^— p)

convergente, ce qui est toujours possible en prenant [x assez grand, puisque p finit par devenir plus petit que a^ — /\.

Alors la série (i) représente une fonction synectique de x excepté en a<, «o, ..., qui sont des points essentiels. Elle représente même, à une fonction synectique près pouvant avoir un point essentiel à l'infini, la fonction la plus générale douée des points essentiels a^, a^, ....