XXVIII. — Théorème de Liouville

Soit /'(^) une fonction du second ordre possédant les périodes w, tu et les infinis a, s — a. Soit F(^) une fonction possédant les mêmes périodes et les infinis ^i, ^2? • • •? ?^p-

Y ( z^ dz L'intégrale de . ^ prise le long d'un parallélogramme

des périodes est nulle ; cette intégrale peut être remplacée par une somme de résidus. Les résidus relatifs aux infinis x et

, F(5) ^ ¥ix) ^ ¥{s — x) ,

s — X de -^^-: 7^7 — - sont ^777 — { et -^^ r ; en observant que

f{x) est égal ai f(s — x)^ ou que f'{x) est égal et de signe contraire Si/'(s — x), la somme de ces résidus est

on a donc

l'intégrale étant prise autour des seuls infinis de F(^), ou, si l'on veut,

(I) Fix)--F{s-x)=fix)f^ ^^^^

En traitant la f onc tion /. , J^ , comme la précédente, et

observant que la somme des résidus relatifs aux infinis a, s — OL^ X, s — X est

F(x)^F(s — x) — F(oL) — F(s—oi), on a

(2) F(^) + F(.-:r)=F(a)-i-F(.-a)+ r Or de (i) et (2) on tire

(3) F(.)=i[F(.) + F(.-.)]-.l rMg^}±Z(£)]

ou, en appelant jjl l'ordre de multiplicité de l'infini p,

( F{x)=l[F(oL)-^Fis-c.)]

où l'on a posé

Dans le cas où les infinis de F(z) sont simples, on a

Ubis) F(:r)=i[F(a, + F(.a)]+-'y»-iMZi£)±Zii)l.

Si la fonction F(^) avait des points essentiels, la formule (3) aurait encore lieu, mais, pour pouvoir l'appliquer, il faudrait

se donner la nature de ces points essentiels, c'est-à-dire les fonctions G considérées dans le théorème de M. Mittag:- Lefller. Un point essentiel a de F (a) donnant lieu à un développement

■Al A2 \i

x — a {x~ay {x — ay

introduira dans la formule (4) ou (4 bis) des termes de forme

i.'2 da^ f{^)—f{<^) De là on conclut le théorème énoncé par Liouville :

Toute fonction aux périodes w, tu peut s'' exprimer en fonction rationnelle dhine fonction aux mêmes périodes du second ordre et de sa dérivée si elle n'a pas de points essentiels.

Mais Liouville n'avait pas donné la forme de la fonction F (;r ) au moyen dey(^). Je l'ai donnée pour la première fois en 1 878 dans les Nouvelles Annales de Mathématicjues.

Les formules précédentes ont besoin d'être modifiées quand les fonctions y* et F ont des infinis communs; alors, au lieu de développer F(^), on développe le quotient de F(^) par une puissance convenable dey"(^).