XXIX. — Formules d'addition

Appliquons le théorème de Liouville à la recherche de sxi{x -^ a) en fonction de sn^. Si, dans la for'mule (4 bis) du paragraphe précédent

on fait

F{x) = sn{x -^a), f(x)=snx,

on aura

= K'v/— 1, s = iK, ^i = li'\/—i — a, p2 = 2K-l-KV— ^ — «»

Oj(57) = sn(x-\- a){x — K'/— 1 + a), 02(:r) = sn(x -\- a){x — K'y/— ^ — 2K -+- a)

OU

Or on a

donc

ksn{x^K'\/—i) ksn{x — K'\/ — t) X — K' y/ — I H- «^

A: sn

et, par suite,

On a de même

X — iK — K'i/ — 1 + a

6i(pi) =

donc

— 2K — kV—

ksn{x ^ a-\- K'/— 0 /csn(2K + K'^— l — x — a)

Enfin F(a) et F (s — a) sont égaux à sn(a -î- K'y/ — 1) et à sn(a — 2K — K'^' — i); ils sont donc égaux et de signes contraires: on a donc seulement

2sn(a7-i- a)

ou bien