XXX. — Multiplication des fonctions auxiliaires

Le théorème de Liouville permet de calculer snmx, cnmXy dn'm^r en fonction de sn^, cn^ et dn^, mais on préfère ordinairement employer la marche suivante. On s'appuiera sur les formules (p. 26g)

ll{a;-\-a) U{x — a) = 61(37 + a) 61(37 — a) = Hi(a7 4- a)Hi(a7 — a) =

62(o) ef (a)62(a?)— Hf(a)H2(a7)

Hf(a)62(a7)— 6f(a)H2(a7) 6H^)

Désignons d'abord par n un nombre impair, et considérons les fonctions S(nx) et

imK irrîWsJ — 1

Ax)=W^Q\x

dans laquelle m et m! doivent prendre toutes les valeurs

entières comprises entre —

et H inclusivement,

valeurs qui fournissent alors /i- facteurs au produit 1 I . Les deux fonctions en question satisfont aux relations

elles ont les mêmes zéros : donc leur rapport est à la fois doublement périodique et toujours fini, donc il est constant; on a donc

einx) = AYlelx-h—^

2 m K im'K'

faisant alors usage de la première des formules (i), en groupant convenablement les facteurs du second membre, on trouve

I Qj2mK ^ 'xm K y/— 1\ I

on trouve de même

H(/ia;)0«'-i(o)

r e^fî^ + .^.Î^V^) "1

I AmK im'YJsJ — 1\ H

eK^>- -4-\ nF7=\ "'^^'

ei(/ia^)e«^-i(o)

28o CHAPITRE VIII.

Par division, on déduit de ces formules snnXy cnnx et dnnœ^ et l'on voit que ces quantités sont de la forme

snnx = snx :^i cn/ia? = cna? — , dnnx = dna; ~,

P, Q, R, V désignant des polynômes en sn^ de degré n^ — i . Si n est un nombre pair 2 m, en vertu des formules

sn2M= • j- r — 7

I — k^ sn* u

dn2u =

on voit que

2sn Mcn wdnw i — k^sn'^u ' cn2 u — sn^M dn^u

I — k^ sn* u dn^u — k^ cn2 u sn^ u I — k^sn'^u

P sera du degré ^in^ — 4? Q? R, V seront du degré 4''^' en sn^.