XXXI. — Multiplication des fonctions elliptiques

Proposons-nous d'évaluer snm.r en fonction de sn^. Nous distinguerons deux cas, suivant que m sera pair ou impair.

Premier cas : m impair. — Les périodes de snmœ sont

4K ^2.K'\/—i . p . ^li-hi j^ , 2t'-hiT^, /

— • et ^ j ses iniinis sont 2JS.4-^ Kd — 1,

mm m m ^

2iK , 9.i'K'\/—i n ' * • r •

ses zéros L-es zéros et ces iniinis sont au

nombre de imr.

On peut grouper les zéros deux à deux, de manière que

leur somme fasse 2K; on peut également grouper les infinis

deux à deux, de manière que leur somme fasse 2K; soient

ai, a'p ao, a'^, ... les infinis K'^ — i et 2 K -t- K'y/ — 1 excep-

tés; ai y a\, «o, a'^, ... les zéros o et aA" exceptés. Supposons ai + a'^ = 2K, ao H- a'g = 2K, ... a, + a'j = 2K, ... ; considérons enfin les polynômes

P = (sna? — snai) . . . (sn;r — sna,„s i), Q = (sna? — snai) . . . (sna? — sna,n2— 1).

La fonction , a les mêmes zéros et les mêmes infinis que suniJO'^ donc, en appelant G une constante,

^ Psna?

sn mx := L — -=7 — y

et snmx s'exprime rationnellement en sn.2;. On peut déterminer la constante G en écrivant

snmx F

sn^ Q

Si l'on fait :r = o, on a

^ sn <2i sn «9 . . . sn a.n^-i

sn ai sn a2 . . . sn a,„u i

ainsi G est connu.

Deuxième cas : m est pair. — Les infinis de snmz peuvent toujours être groupés de façon que la somme des deux infinis d'un même groupe fasse 2R; aucun de ces infinis ne peut être égal àR' y/ — i ou à 2K 4- R'y/ — i ; cette fois snm^ n'a pas d'infini commun avec sn^.

Groupons les zéros comme tout à l'heure; les zéros étant

de la forme 1 y/ — i , ils pourront devenir équivalents à o ou à 2R qui sont les zéros de sn^; si l'on a i'=o et î=^o ou i'^=o et i=mi, les zéros de sn'^ = cnx dn^ sont K, 3K, R + R'y/— i , 3R -|- R^y/ — i ; ceux de snmx pourront leur devenir égaux pour ^ = — ou ^— avec i'^= o

ou 1 = —• Formons alors les polynômes

U ={si\x — sn^i). . . (sn.r — sna,n^-t^), V = {snx — snaj) . . . {snx — ?>noL,n,i)^

les quatre zéros communs à snmx et à sn'^ ou à sn^ ne figurant pas dans U, et considérons l'expression

^ sna7 sn x;

elle a les mêmes zéros et les mêmes infinis que snmx : donc

snmx = G :r^ sna? sn x^

G désignant une constante facile à calculer.

Il est facile de voir que les polynômes P, Q, U, V ne contiennent que des puissances paires de snx, car sn/?!^ est fonction impaire de sn^.