XXXII. — Méthode d'Abel
snmi^est de la forme ^ ou ^ y/(i — a)'^)(i — k'^x'^), suivant
que m est impair ou pair, P et Q désignant des polynômes entiers en ^ = sn^^. Abel a indiqué deux équations diff'érentielles auxquelles satisfont les polynômes P et Q et qui permettent alors de trouver ces polynômes par la méthode des coefficients indéterminés. Posons
^ksnu=:x, ^ksnmu=y, on a
dx -i-. dy -^
da= ^^ ^^ -
OU bien, en posant /: h- ^ = 2a,
dx dy
ou
v/i — aaa?^ H- x'* m^i — aar^-hj/*
en différentiant, il vient
maintenant posons, en supposant m impair,
nous aurons
.S(.-......,[Q-J-(§)]..(..-..)Qg..= P^|^
P et Q sont des polynômes premiers entre eux; l'équation précédente doit donc se réduire à une égalité entre deux polynômes entiers du second degré, et l'on peut ajouter que ces polynômes sont pairs. En faisante r= o et :r = oo, on voit que chacun des deux membres de la formule précédente est égal k m'^x-', on a donc
i{x^ — ax)V -. hm2(Q^ — ^-P^) = o,
(j —ICLX'^^
-H 2(^3 aa;)Q-^ + /?i2(P2 a^aQs) = o. dx
P Lorsque m est pair, on peut encore poser^ = ^ > mais alors
P ne sera plus un polynôme entier, mais bien le produit d'un polynôme entier parle radical y/i — lax'^-^- x^*\ néanmoins un raisonnement analogue à celui que nous venons de présenter prouve que Pet Q satisfont aux mêmes équations différentielles.
Les fonctions doublement périodiques sont intégrables par les fonctions S. Pour le démontrer, considérons une fonction F(^) aux périodes w elm-^ soit 8 une fonction, telle que
' a HT — b(x>—2iTZ^ — I.
Si l'on considère l'intégrale
prise le long d'un parallélogramme des périodes ayant son origine en un point Xqj on la trouvera égale à
1T.s/^.Jjc, y^{XQ-\-tsi^Z—X) 6(^0 + -— ^)J
Or de (i) l'on tire
Cl,
\{X-^lii) 0(^7)
'{x^rn) O'(a-) \{x-^m) ~~ 6(0^) ~ '
l'intégrale (2) devient alors
f b¥{z)dz — =: / aY{z)dz,
r... 2 714/ I Jr.„
quantité indépendante de Xq que nous appellerons C. D'un autre côté, l'intégrale (2) est égale à la somme des résidus
de F (5) V-, ~ V • Si la fonction Q est alors choisie du premier
ordre et de manière à s'annuler pour ^ = ^, le résidu relatif à X sera F(j;), et l'on aura
la double parenthèse indiquant que le résidu est relatif aux seuls infinis de la fonction F(s); soit a un inQni de cette
fonction, on aura, en supposant F(g) — •
ou
formule facilement intégrable par rapport à x.
La méthode que nous venons d'indiquer est due à M. Hermite, et nous allons bientôt en faire des applications. Disons toutefois que le calcul d'une intégrale peut être assez simple en lui-même, pour n'avoir pas besoin de recourir au procédé que nous venons de rapporter; ainsi, par exemple, on a
r^ , r" udu
I snx dx = I — 1
en posant sn.r = z^; si alors on prend pour variable z = u-y on trouve
Jf sna? dx = / — ^
0 Jo v/'-(i +
et l'intégration s'effectue sans difficulté.
XXXIV. — Cas où les périodes de la fonction à intégrer sont 2 K et 2 K' t/— i.
Si la fonction f(z) a pour périodes 2K et 2K'^-^ i, l'intégrale
I r.. . ii'(z-x) ,
prise le long du parallélogramme des périodes, a une valeur constante G, et cette constante est égale au résidu
ou, en appelant ai, a2, ... les infinis de/(^),
en posant, pour abréger, /(-s) = C5(s)(^ — a)'% n désignant l'ordre de multiplicité de l'infini a.
On voit ainsi quey(^) est développable en une suite de la forme
Yi'ix—a^ v:» „ «r Yi'{x — a^
fix) = G + > A 77 h > B -Y- —
éminemment propre à l'intégration : G, A, B, ... sont des coefficients à déterminer; quant aux coefficients A, ils satisfont à la relation
en effet SA est le résidu de /(^) relatif au parallélogramme des périodes.
Si la fonction /avait des points essentiels, son développement se ferait d'une manière analogue, mais il se présenterait sous la forme d'une série ; pour l'eff'ectuer, il faudrait se donner la nature des points essentiels (voir § 28).
