XXXV. — De l'intégrale elliptique de seconde espèce

L'intégrale elliptique de seconde espèce

x^dx

se transforme en

dx.

quand on y remplace x parsn^, et c'est cette intégrale que nous allons étudier.

Décomposons à cet effet sn^^ en éléments simples par la méthode de M. Hermite. Ses périodes étant 2K et 2R'^ — i, on posera

G = -== I sn2a7 -JJ7 ~ dz,

l'intégrale étant prise le long d'un parallélogramme des périodes, et, comme VL{z — x) n'a qu'un zéro x, on aura

Or on a

sn^^ n'a qu'un infini, mais il est double, et il est égal à R' y/ — i . En changeant x en Ky/ — 1 -\- h dans la formule précédente, on trouve

le résidu qui entre dans la formule (i) est le coefficient de t dans le développement de

H(Kv/— 1 — ^ — A)

ou de

j^ I r0'(/i — ir) tt/^I X:2 T^i Le(/z — ^) 2K J *

snA

or la limite de —r- pour /i = o étant un, le résidu cherché

sera ,

j ç? 0'(;r) j &\x)è{x)—&''{x) , F 'dx 6(07) ~ /<:2 02(^) '

on aura donc

G-sn ^+^2- ëH^)

et, pour œ = o,

/i:2 0X(o/ d'où l'on tire

Si l'on intègre et si l'on pose

k^ sn^a? dx,

on a finalement l'expression que Jacobi appelle l'intégrale de seconde espèce Z(^), à savoir

La fonction Z{x) est donc monodrome et monogène et s'exprime au moyen de la fonction 0 ; réciproquement on peut avoir 0 en fonction de Z{œ). En effet, de l'équation précédente on lire

/ Zix)dx = \^) lo^^— ^^ — -

et, par suite,

r^ 0"(o).rs

'^)=0(o)e®'<°' ' Jo

XXXVI. — Addition des fonctions de deuxième espèce. On a trouve, en posant c, = ^^ ,

\ k'-sn'^xdx = i:,x—-^—{;

on en conclut

^ -^ ' ^^ -^ ' e(a7-i-jK)

donc ou bien

Or on a trouvé (p. 269)

0(^+7)0(^-7)= 0Ho) ^^^

la formule précédente devient alors

, „, ^ V, s d . 02(^)e2(7)-H2(:p)H2(7) Z(.H-7) + Z(.-7)-.Z(.) = -^log 4^^eH7) '

ou nous avons introduit sous le sierne -y- la constante ^^ ) ' :

en ayant égard aux formules qui donnent sn^ (p. 262), on a Z(a7-f-7)-r-Z(a7 —7) — iZ{x) — — ~~z- log(i — A'2sn2^sn27)

ou, finalement,

„, N ry, N ry/ X 2 A:^ sn27 S H ^ c II 37 d H ^T

Changeons ^ en y et y en x^ en observant que

on a

en combinant cette formule avec la précédente, il vient

k'^snx srïy{sny cna^dna? -h snx Any cr\y) I — k^sn^x sn^y ou bien

(i) Z{x +jk) = Z(a7) -\-Z{y) -h k'Snx^ny sn{x -\-y).

C'est dans cette formule que consiste le théorème de l'addition des fonctions de seconde espèce. On en déduit, en changeant/en —jk,

Z{x — y) — Z(a7) — Z{y) — k'^snxsny sx\{x — y)-

Ces formules, comme on le verra, sont susceptibles d'une interprétation géométrique remarquable.