XXXVII. — Intégrale elliptique de troisième espèce

L'intégrale de troisième espèce, que l'on peut mettre sous la forme

prend la forme suivante quand on y fait ^ = sn^r et/i = /rsna:

dx sn2;r

r^ da

sn^asri'^^

Pour obtenir sa valeur, nous décomposerons 7— — -—

en éléments simples; à cet effet, nous poserons

r I dz^n^z W(z — x)

^J 2^/— î i — k^sn^asn^z H{z — x)

la fonction 7^ — ^ ^ayantpourpériodes2Ket2K\

I — A:2 sn^a? sn^a

si l'on suppose l'intégrale prise le long d'un parallélogramme des périodes, la quantité G sera constante et l'on aura, en

K observant que l{(z — x) s'annule seulement pour z = x^

"" I — A-2sn2asn2x "^ <^ ((i — Â:2sn2a sn^^)) H(^ — a?)*'

Pour évaluer le résidu qui figure ici, nous commencerons par résoudre l'équation

1 — A- %wra sn^^ = o, que l'on peut écrire

A- sn2 a = — — = k = k . .

sn2^ H2(^) 02(^^K'v/-i)

= A2sn2(5-i-KV^) ou

► sn2 « = sn2 (^ -f- KV— ^) ;

on lire de là

sna = ifc sii(^ + K' y/— i),

d'où l'on conclut

-s = ih a + K' / — I ;

le résidu que nous cherchons sera alors

I ^^"^Li-A2sn2asn2.^"-^H(i:=^)J^^^"LT-A2sn2asn2.^"^-^H^^

;t ou, au signe près,

sn2(a-f-KV:=n") Yi!{a-\-Ys!s/^^i-x)

ik-^ sn2a cn(a -i- K' v/^)dn (a + K' v/-=^) H (a + K' v/^H"— ir)

sn2(a — kV^) H'(— g+KV^ — a?)

"^ 2A2sn2acn((2 — K'/— ^)dn(a — K'v/-^) H(— a + K'/-^— ^)

ou enfin

2A2sn on en conclut

acnadnaL6(a; — a) è(a7-i-a)J'

— A2sn2asn2;r 2A:2sn

acnadnaLé(a7 — a) ^{x -^ a)\'

Pour ^ = o, on trouve

0(a) 2A'^snacna dna' on en conclut

ik^snacna dnasn^x Q'{x — a) 6'(x-\-a) 0'(<^)

I — A'2sn2asn2^ ~~ e{x — a) ~ 0(a7-f- a) "^ ^ e(a)

et, par suite,

r^/f^sna cna dna sn^a? a70'(a) ^ o-^^*^ — '^^ A I — Â:2sn2asn2^ 0(a) "^ ^ og ^^^^ ^ ^)-

On voit, en résumé, que toutes les fonctions elliptiques dépendent d'une seule et même fonction 0.

Si l'on pose, avec Jacobi,

„, , r^ k'^sna cna dna sn^x , (i) Il{x,a)= I j^ — dx,

la formule précédente s'écrira

et, en changeant x en a et a en x^

en soustravant ces deux équations l'une de l'autre, on a

xQ'ia) a&(x)

ce que l'on peut encore écrire

U{x, a) — U{a, x) = xZ{a) — aZ{x).

C'est dans ces dernières égalités que consiste ce que l'on appelle V échange du paramètre et de V argument.

Si l'on divise les deux membres de (i) par a et si l'on fait a = o, on trouve

c'est-à-dire

Iim— ^ = Z{x).

La formule (2) donne alors la formule du paragraphe précédent