XXXVIII. — Intégrales complètes

Les quantités

Jq ■

k^sn^xdx = Z(K4-KV— i)— Z(K)

s'appellent les intégrales complètes de seconde espèce; si, dans la formule

on fait ^ = K, on a

(a) J = ÇK;

si, dans la même formule, on fait ^ =:= K + K'y/ — i, on a

e(K4-KV-i)

d'où

&{x^K's/—i) Yi'jx) 7rv/=r^

et, en faisant .r = K,

e-(K-4-K^v/^) H^(K) 7rv/~

Donc (b) donne et, en vertu de (a),

Mais, si l'on forme la dérivée de H(^) et que l'on y fasse ^ = K, on trouve H'(R) = o ; donc

Tt y/ — I

ÇKV=

si l'on rapproche cette équation de (a) et si l'on élimine Ç, on a

relation remarquable entre les intégrales complètes. Il est facile de voir d'ailleurs que

Z (^ -+- 2 K' v/^=T) = Z (a?) + 2 J' v/^^. Si, dans l'équation

n(a7, a) — n(a, a?) = rt Z(57) — xZ{a)^

on fait ^r=Ket^=rR + ¥J \J — i , en posant n(K, a) = U, n (K + K' v'^^, a) — n (R, a) = n' y/^^ et en observant que

n(«, K) = o et n(a, K + kV^^) = o, on a

U = U{K,a)^ ai — KZ{a),

v/^n'= aJ'/— ^— K'Z(a)v/^;

en combinant ces équations de manière à éliminer Z(a), on trouve, en vertu de (3),

Kn'-nK'=^.

XXXIX. — Les fonctions Al de Weierstrass. Reprenons la formule

on en tire

Z{x)dx = Ç log-

Z{x}dx

C'est cette fonction que M. Weierstrass désigne par Al (.r) il pose

Alia7= Al^ snic

-çfH(«) I e(o) y/ï'

W^x — Al^cno^

=--*".'SVÏ-

Al3^ = k\x ànx

on a alors

Al|rr-4-

Alf:r = Al2;r,

k\lx -i- )

Les fonctions Al ne sont plus périodiques, mais elles appartiennent encore à la classe des fonctions auxiliaires ou fonctions thêta. Les formules relatives aux fonctions © donnent

Al (^ + 2K) = Al X e-2-'(^+K)^

k\x{x + 2K) = — Ali^ e-2J(^+K)^

Al2(^ -^ 2K) = - Al2^ e-2J(x+K)^ Al3(ir -I- 2K) = Ala^ e-2J(x+K)^

Al {x -+- 2KV^^) = — Al a:e-2JV~(^+KV=^), Ali (;r + 2KV^^) = — Aliice -2J'v/=ïU+kV=î), Al2(^ -f- 2KV^) = Al2^e-2JV^(^+K'v/^), Al3(^ + 2K'v^=T) = Al3a?e-2J'/=ï(^+K'/=^)

XL. — Utilité des fonctions Al pour le développement en série.

Les fonctions 6 sont développables en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de x, mais ces fonctions sont loin de se développer aussi facilement que les fonctions Al, dans le développement desquelles le module entre sous forme entière. Pour effectuer le développement des fonctions Al, on part d'équations linéaires que nous allons d'abord établir.

On a trouvé

donc

Z{x)= I k^ sn'^ X dx = 'C.x — —- — -, Jq Q{x)

Ix^ -H^-sn^^^^; si, dans cette formule, on remplace x par ^ + K,