I. — Équations différentielles entre les périodes
Désignons par A le radical ^(i — x-){i — k-x-) et posons rdx rx'^dx
les intégrales étant prises le long d'un contour fermé contenant deux des zéros de A, on aura
l du rdx x'^
\dk~"J'K i — k^x'-' (i) <
\ dv rdx x'*
\dk~J~\ i — k^x-^' De l'équation identique
dx  ~ ~~i (I — A'2a72)A'
en vertu de (i), on tire, en intégrant, , . X:'2 du
d'ailleurs on a, en vertu de (i),
Ces formules (2) et (3) conduisent aux équations du second ordre
El dk
Les équations (4) et (5) sont satisfaites quand on remplace u par une période quelconque de l'intégrale elliptique de première espèce, et v par une période de l'intégrale de seconde espèce. Ainsi, par exemple, A et B désignant deux constantes arbitraires, AK + BK^ sera l'intégrale générale de (4). Reprenons l'équation (3) et écrivons-la ainsi
du k ,
si l'on pose successivement dans cette formule x'^dx r ^ , J
rx^dx r" ,
dx
et
~'x^-dx A
/ sn'^'x dx
on aura
dK
dk
dK' dk
et.
en remplaçant J
3tJ'
par ]
eurs valeurs
el(6)(p.
dK dk
dK'
dk
FONCTIONS MODULAIRES. 3oi
l'élimination de ^ entre ces deux formules fournit la relation très importante
K'dK — KdK' K
^^^ dk = M^^'
dont nous aurons bientôt l'occasion de nous servir.
