II-, — Il

Xi — X i H. M,

etc.

= 8 + 7 [x-j -\- x,)-h S [x\ -h x-i Xi -h X t ) +• etc., = p -{-y{xi-hX:i]-+-S[xl -hx^x-i-i-xl) -h etc..

Posant, pour abréger,

^ Xi "■■"" OC \ «A/3 ■"" OC1

Lacuoix, Cr/Zc. d'ijf,^ H.

l8 DES DIFFÉRENCES

on aura les équations

U =e+7(^, + ^ )-i-3[x]-^x,x 4-^' ) + elc., U, = ^ -+- V [x2-hx,)-\-o[ x\ -^x^x,-^x]]-^ etc.. Uj = [i +7 (^3 -+-^,) 4- {x'3 4- ;c3.a^-i-H^' ) -h etc., etc.;

retranchant encore U de U, , U, de Uj, et ainsi de suite, et désignant par U', Tj', , etc., les quantités

U, — U Y, — U, , 5 etc.,

on trouvera

U' = 7 -f- ( 0:3 4- :c, 4- X ) 4- etc. , U', =7H-o(ar3 4-:rjH-:r,)4-etC.,

d'où l'on tirera

U', — U' = (^3 — x]-^ etc.

Maintenant si l'on fait

on aura 1]"== ^4- etc., et si, pour fixer les idées, on ne suppose que quatre termes à l'expression de u' , l'opération finit à l'équation ci-dessus. Prenant la valeur qu'elle donne pour 0, et remontant à celles de 7, fl, a, par le moyen des quantités U', U et u, il viendra

P=rU — U' (.r, 4- .3^)4- U" (^3 ^r, 4- ^2^4-^, or],

a=M Yx-^-Y' XxX — \}i"XiXxX.

Substituant ces valeurs dans l'expression de u' , on aura

/<'==« -4 U (jc' — a:) 4- U' [x'^ — [xy, -\- x^x' 4-^1^]

-t-U"[a;'^ — [x-i-\-Xx-\-x')x''^-n-\XiXx-^x-iX-^rXxX\x' — XiX^x^*

11 est facile de voir que les coefficients de U, U' et U" sont dé-

composables en facteurs simples, et que l'on peut nicilre a' sous la forme

En poursuivant d'après cette méthode, on obtiendrait une formule analogue à la précédente; et quel que fût le nombre des valeurs x, x^, x,,. . .Ae l'abscisse x' , on aurait en général

u' =3 «-hU(^' — .r) -l-U' [x'—x] [x' — X,) H- U"(.r' — x) [x' — Xi) [x' — X2)

^\}"'[x' — x][x'~X,)[x'-X,)[x'~X,)^GiC.,

en faisant -T^— .= U, =U,, =\}„ = U3,etc.,

— ~ — = U', =IJ,,- =L,,etc.,