TT' U' U' U

.Li ^ ^U', ^ ^ =U': etc.,

'^' ^ =^\]'\ etc.,

etc.

Quand les valeurs x, a:,, ^j, ^3, etc., sont équidifférenles, on a

x, = x-i-h, x2^=x-\-2./i, ^3 = .r + 3/t, etc., d'où l'on déduit

U' = ^., ir, = ^,, U'.=^., etc.,

•J = » . ., ? etc.,

etc.;

20 DES DIFFEREXCES

faisant ensuite x' ^=x-\-h', il en résulte

x' — X := h' , x' — Xi=h' — h, x' — Xi = h' x' — X3= h' — 3/i, etc.,

et l'on voit ainsi que l'expression précédente de u', qui devient alors

h' h'ih'—h] h'ih'—h)[h'-ih)

ll'=ll-r--r Mi^ ) — ^ \'u-{ ^ — - — '-j^ -^A'^^4-etc.,

h h. là /1.2/1.0/1

rentre dans celle du n" 382, obtenue par une voie différente.

386. Lagrange a présenté l'expression de u' sous une forme nouvelle, en observant que puisque les équations

u = y.-\-px -r- yx^ -+- Sx^ -+- etC . ,

u, = a H- pxi-i-yx- -+-Sx\^ etc.,

Ui = a -h px2-hy:x;l -i-Sxl 4- etc.,

etc.,

sont du premier degré seulement, par rapport à chacune des

quantités a, ^,7, etc., u, «,, u,, etc., et que u' doit être exprimé

en x', de manière qu'en y faisant successivement x'=x,

x' = Xt, x'=:x2, etc., il vienne u' = u, u' = m,, h' = u.^ etc.,

on peut écrire

M' = XwH-Xif/,-i-Xji^, + etc.,

pourvu que X, X,, Xj, etc., soient des fonctions de x' telles, que par la supposition de .r' = a: on ail en même temps

X = i, X, = 0, Xi=:o, etc., que par celle de x' = Xi on ail

X = o, X, = 1, X2 = o, etc., que par celle de x' = x, on ait

X = o, Xi = o, X2=i, etc., et ainsi d? suite, conditions qui seront remplies si l'on prend

etc.

{x — xC\

[x — ar,]

[x — Xi]. . .

La loi qu'il faut observer dans la formation de ces quanlilés est on ne peut pas plus simple; leur numérateur contient, ainsi que leur dénominateur, autant de fadeurs qu'il y a de quantités x, x,, x^, x^, etc., moins une; et si l'on y fait les hypothèses indiquées ci-dessus, non-seulement on se convaincra qu'elles satisfont à la question proposée, mais on verra de plus comment il a été possible de prévoir qu'elles y satisferaient : on a donc cette nouvelle formule d'interpolation :

"" [x — Xt) [x — X2)

[Xi — X ) [Xi — Xi)

[x' — x) [x' — Xi)

(^2 X ] [X-l ■^'ij [Xn Xz). . .

-+- etc.

très-commode dans la pratique, parce qu'on en peut calculer chaque terme par le moyen des logarithmes. 11 ne serait pas difficile de la ramener à celle du numéro précédent, et même à celle du n" 382; c'est pourquoi je ne m'y arrêterai pas.

387. Ici il est aisé de voir, d'une manière évidente, que le problème de l'interpolation est indéterminé, quand des considérations particulières ne fixent pas la forme de la fonction qui doit représenter le terme général des nombres donnés.

En effet, les seules conditions auxquelles soient assujetties les inconnues X, X,, X,, etc., peuvent être remplies par des fonctions bien différentes de celles que Lagrange a choisies.

On trouve d'abord l'expression très-simple

sin m [x' — x^ ) sin/i [x' — X2) sin/?(ar' — x^) etc., qui jouit de la propriété de s'évanouir, lorsque

quels que soient les nombres m, n, p, etc.: on pourra dor* poser l'équation

,, s'mm{x' — ^,)sinw'^' — x,] s\n p{x' — .r,) etc.

sin /« [X — Xij sin n [x — Xj) sinp^x — ^3] etc. dont le second membre se réduit à l'unité lorsque x' ^x; et

sur ce modèle on formera aisémenl les valeurs de X,, Xo, etc., dans chacune desquelles on pourra prendre pour les coelficients m, n, p, etc., tels nombres qu'on voudra.

Si de pareilles expressions s'accordent avec celles du numéro précédent pour les valeurs de x' comprises dans la série X, X,, x^, etc., elles en diffèrent beaucoup dans les intervalles, dès que les arcs ne sont plus assez petits pour être sensiblement proportionnels à leurs sinus: on peut d'ailleurs substituer les tangentes aux sinus, et les conditions précédentes seront encore remplies. r

388. Les formules d'interpolation s'appliquent d'une manière tiès-utile dans la détermination approchée de l'intégrale y Xd^, ou de la quadrature des courbes. La première idée qui s'est présentée sur ce sujet, a été de substituer à la courbe proposée une courbe parabolique, assujettie à passer par un nombre donné de points de la première ; il est évident que plus ces points seront multipliés et resserrés, plus l'exactitude croîtra.

En prenant d'abord la formule

fi' = y. H- p^' -f-7 x'- 4- etc.,

pour représenter l'ordonnée de la courbe parabolique, l'aire de cette courbe sera exprimée par

^ , , , y.x' fix'^ 'ix'^-"

/ Il d X = — --h h -^r — h etc. -r- coiist. ;

quant aux coefficients a, p, 7, etc., ils se concluront sans peine du développement de l'expression employée pour u .

h' Si l'on prend celle du n° 382, qu'on y fasse y- = x' , elle deviendra

x' au x'ix' — i]à-u x' (x' — i){x' — 1] ^"n

f ="H •. ^^ ' \ ^- '-^ '- helc.

et il faudra la pousser jusqu'au même nombre de termes que la précédente, c'est-à-dire celui des points par lesquels doit être déterminée la courbe parabolique.

Supposons que ce nombre soit 3 ; on ne prendra que les

trois premiers termes de la formule ci-dessus ; en l'ordonnant suivant les puissances de x' , il viendra

quantités qui ne dépendent que des trois ordonnées consécutives u, K,, icn, répondant aux valeurs

/('=zo, h'^=h, h'=:^ih, ou ^'=1:0, ^'=1, x'^=r.1',

et si l'on assigne o et 2 pour les limites de Jn'dx', sa valeur sera

2W-I-2 ( A?< — -A'iA -f-^ A'« = 2 ( « -f- A?/ + -T A^//

Dans ce cas, a' serait l'ordonnée d'une parabole QR,Ji^. 64, passant par trois points de la courbe proposée DE, et fu'Ax' l'aire du segment de celle parabole, compris entre la première ordonnée PM et la troisième P.M,.

En général, celle parabole QR sera allernativement intérieure et extérieure à la proposée, ou vice versa; en sorte que l'aire de son segment différera, dans une partie par défaut et dans l'autre par excès, de l'aire du segment correspondant de la courbe proposée DE; et alors il pourra s'opérer dans le résultat total une compensation plus ou moins approchée entre ces différences.

La formule précédente devient plus symétrique quand on remplace les différences A?i et ^''u par leurs valeurs

?/, — u et «: — ii(t-\-u (378); on obtient, après les réductions,

- (i^-+-4«i -hW2).

Si l'on conçoit de même qu'il passe une nouvelle parabole par les points M,, M3, M4, et ainsi de suite, et que l'on réunisse les aires de chacun de leurs segments, on pourra embrasser une portion aussi grande que l'on voudra de la courbe proposée; et si la dernière ordonnée est représentée par u^,

m étant un nombre pair, on aura