I. — Proposition de Jacobi

En désignant par a et b deux quantités dont le rapport soit réel et incommensurable, on sait par la théorie des fractions continues qu'il est possible d'approcher de v par une infinité de

fractions rationnelles — de manière à vérifier la condition n

3yO NOTE SUR LA THEORIE

S étant moindre que l'unité. De là on tire

na — mb = — • ?i

Or une fonction ayant pour périodes a et b ne changera pas en ajoutant à la variable une somme de multiples de ces quantités par des nombres entiers, telle que na — mb. Comme le

nombre ji peut être pris aussi grand qu'on veut, sans quoi t no

serait pas incommensurable, la nouvelle période «« — mb= — ' li

peut être rendue plus petite que toute quantité donnée, et par

là nous reconnaissons déjà qu'il ne peut exister de fonction

doublement périodique où le rapport des deux périodes serait

réel et incommensurable.

C'est à cette même conclusion d'une période infiniment

petite, ou du moins dont le module est infiniment petit, que

nous allons parvenir en supposant trois périodes imaginaires :

Je dis en effet qu'on peut déterminer une infinité de nombres entiers, m, n, p, tels que le module de am -- bn -— cp soit moindre que toute quantité donnée.

Considérez pour cela la forme quadratique ternaire

f= (ax-f- PJ^-72)-^-(a'^-^ 8'j4-7'-z)'H- r:; '

où X est une quantité réelle arbitraire et dont le déterminant sera

Le minimum de f, pour des valeurs entières des indéterminées,aura, comme on sait, pourlimite supérieure sjii, de sorte

DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Syi

qu'en désignant par m, n, p ces valeurs, on aura

Cl à plus forte raison

( a m -f- fi /i + 7/j )^ -{- ( a' m + p' « + v'/:») ■ < y/a A-

S'il est donc impossible d'avoir à la fois

ou bien am + bn -\-cp = o,

c'est-à-dire si a, b, c, sont trois périodes réellement distinctes, on reconnaît que \ croissant, A peut devenir aussi petit qu'on veut et qu'on parvient à des périodes dont le module, ainsi que nous l'avons annoncé, est indéfiniment décroissant. Toutefois nous supposons que le déterminant de la forme quadratique ne soit pas nul. Mais dans ce cas particulier, au lieu de la forme ternaire, on considérera la forme binaire

Sous la condition a.W — [W = o , son déterminant sera — ; 5

et ne pourra plus jamais s'évanouir. Or, en supposant que le minimum soit donné pour x = 771, j= ?i, on aura

pnY+[.',7i-i-p'nY+'^<^'i^

et à fortiori

de sorte qu'on pourra raisonner comme précédemment et parvenir à une période am-h bn dont le module sera d'une petitesse arbitraire. Ce cas particulier rentre d'ailleurs dans celui dont nous nous sommes occupé en premier lieu, car la con-

372 NOTE sua LA THÉORIE

dition c/.p' — [3a' = o, exprime que le rapport ^- ' ^- ^

est réel,