SUR LA FORMULE DE ST1RLI\G, ETC

est inférieur à 77; on a donc, par la formule de Maclaurin,

(35) ( — i)"! B— 1 — (pour^ = o

' ' -211 dz'"-' ^^

I — é" La première dérivée de la fonction est ; -■> et

il est aisé de voir que l'on aura généralement rfî«-' —

Al, A,,. .., Aîn-i étant des coefficients indépendants de z; il y a plus : l'équation (34) montre que la première dérivée de la

fonction — est une fonction paire de z qui ne change pas

quand on y changez en — 2; il s'ensuit que la même chose a lieu pour toutes les dérivées d'ordres impairs. Mais, par ce chan- . gementde^en — z, l'expression précédente devient

A;„.e('"-''^-|- A;„-,et^"-^'^-{-. ■ ■ + A,fc= ( e' -M )■■'" '

il faut donc que l'on ail généralement 4,„, = A,, et, par suite,

Cela posé, on a

e- + 1 I -H e" d'où

^2h— le— :s 521 — 1,-3"

dz-"-'

mais on a aussi

364 XOTE SUR LA FOR3IULE DE STIRLI.VG, ETC.

et en mulUplianl entre elles les deux équations précédentes, ■

on aura, à cause de la formule (36), 1

Le premier membre de cette formule est une fonction entière de e'; par conséquent, en effectuant le produit indiqué dans le second membre, il ne restera que des termes contenant des puissances positives de e- en écrivant que les termes en e'^"-'"> sont égaux dans les deux membres, on trouve

A,= — 1="-', et, pour les valeurs de f* supérieures à i ,

,j. — I ■jnf 2n — i)...(2n — // -f- 2 ) ^ ;„—

mais les formules ( 35 ) et ( 36 ) donnent ( - i)"^^"~ ■ B„= -^, (a.+ A.4- A3M-. ■ ■+ A„- -4- '- K) .

on aura donc

[-M-î^n'an — l)...( n-+-0 2n-\ \ („if'-'an(n-2)-"-'+...^-(-iJ - ,.2.,.(„-2) J

enfin, si l'on réunit les termes en «="-, (n— i) —,..., on aura

] V in 2n(2n-0 i 2n(2ri - Q (2^ - 2) "! ^ „ ^^;n-i

formule dans laquelle la loi de succession des termes est évidente.

Par m. HERMITE.

On donne, comme on sait, lenom ^& fonctions algébriques aux polynômes entiers par rapporta une variable, aux quotients de ces polynômes et aux racines des éfjuations dont le premier membre est une fonction entière par rapport à l'inconnue et à la variable. Les fonctions que l'on appelle transcendantes sont toutes celles qui ne rentrent pas dans la définition que nous venons de rappeler, par exemple les exponentielles et les logarithmes, les sinus, cosinus, tangentes d'un arc de cercle, ou les arcs sinus, arcs tangentes, etc. Les fonctions de fonctions que l'on obtiendra par des combinaisons algébriques de ces premières transcendantes seront encore évidemment des fonctions transcendantes, et l'on voit ainsi comment on peut, quoique sans utilité, en multiplier indéfiniment le nombre. C'est en quittant le champ de l'algèbre et en quelque sorte dès l'abord du calcul intégral, qu'on est amené naturellement et sans effort à l'origine véritablement féconde d'une infinité de fonctions nouvelles, distinctes essentiellement les unes des autres, offrant pour chacune d'elles un ordre de notions analytiques propres, en môme temps que des caractères communs qui les réunissent en grandes catégories, et dont l'étude approfondie est l'un des objets les plus intéressants de la science actuelle. Deux géomètres illustres, Abel et Jacobi, ont attaché les premiers la gloire de leur nom à celte étude, en posant les fondements de la théorie

366 NOTE Sl'R LA THKORIE

des transcendantes à différentielles algébriques, dont les loga-

/dx r dx

— 5 et les arcs de cercle / — ■ ■» forment les

^ J sj\—x^

termes les plus simples et les plus élémentaires. Après les logarithmes et les arcs de cercle, ce sont les fonctions elliptiques auxquelles donne naissance l'étude des intégrales

/dx — 5 qui ouvrent la série des nouvelles s/{i-x'){i-k^x^)

fonctions et en présentent le premier terme. Ce seront celles

auxquelles sera consacrée cette Note, et dont ob va essayer de

donner une première idée en présentant l'esquisse de leurs

caractères les plus saillants.

Propriétés communes aux fonctions circulaires et elliptiques

En rappelant tout à l'heure la définition des fonctions algébriques, nous avons dit qu'elles comprenaient d'une part les polynômes et les fractions rationnelles, et de l'autre les racines des équations F (j, ^) = o, dont le premier membre est rationnel et entier, par rapport à la variable et à l'inconnue j. Dans le premier cas, les fonctions ne sont susceptibles que d'une seule et unique valeur pour toute valeur réelle ou imaginaire de X, tandis que dans le second elles offrent autant de déterminations qu'il y a d'unités dans le degré de l'équation supposée irréductible et qui sert à les définir. Une différence du même genre se montre entre les transcendantes simples, sin^, cos.r, tangx et arc sin^, arc cos^, arc tang^, les premières ressemblant aux polynômes et aux fractions rationnelles, comme n'étant susceptibles que d'une seule et unique détermination; les secondes au contraire, en admettant une infinité, sont à cet égard comme les racines d'une équation dont le degré serait infini. Et il en est évidemment de même pour l'exponentielle e"" et le logarithme qu'on peut considérer comme défini par l'équation transcendante ou de degré infini e^=x. Ce rapprochement, qui s'offre au premier aperçu, se confirme et se complète par les remarques suivantes. Pour

DES FOXCTIOXS ELLIPTIQUES. 36y

toute valeur réelle ou imaginaire de la variable, on a

cos.r = i h

et du fait même de la convergence des séries résulte qu'en les arrêtant à un terme suflisamment éloigné, les transcendantes se trouvent avec autant d'approximation qu'on le veut remplacées par des polynômes et des fractions. Tout au contraire, les développements :

log(H-.r) = .r — — +

arc sin x =r. x -h

/y»3 ^5 /JT'I

arc tang x^=x — V"*" '^

ne subsistent qu'en supposant la variable moindre que l'unité, et l'assimilation approximative avec des polynômes n'est possible que dans un intervalle fort restreint. Enfin, et ceci est le point qu'il importe surtout de remarquer, par une seule valeur donnée, soit de l'exponentielle ou des fonctions circulaires, on en peut obtenir algébriquement ou même rationnellement une infinité d'autres. C'est ainsi qu'en trigonométrie rectiUgne on calcule en partant de l'arc de 10" toutes les valeur.i du sinus, du cosinus et de la tangente qui figurentdansles lablRî- propriété aussi remarquable qu'importante de ces fonc-

lions, el qui découle de ces relations :

sin [x -+- j) =^sin a: COS/+ sinj'cos^,

cos [x H- j) = cos^ cosj — sin x sin j,

, , lans^ 4- lansr

lang (x-i-r) = ^ ^-^ -,

' I — tang^iangj^^

dont les seconds membres sont composés algébriquement avec les fonctions relatives à l'argument .r et à l'argument y. Ces mêmes propriétés nous les trouverons dans les fonctions elliptiques dont elles constituent les caractères les plus essentiels, et nous les résumerons en disant des nouvelles transcendantes, q\x' elles sont des fonctions uniformes, à détermination unique, analogues à des fractions rationnelles, auxquelles on peut les assimiler avec autant d'approximation, et dans une aussi grande étendue qu'on le veut, des valeurs de la variable, et de plus que les fonctions relatives à la somme de deux arguments x et y s expriment algébriquement par les fonctions relatives à l'argument x et à l argument y. Enfin et de môme qu'à l'exponentielle et au sinus répondent les expressions inverses, log^

/dx r dx — •) j ■< nous verrons, avec

une infinité de déterminations, s'offrir comme inverse des

fonctions elliptiques, l'intégrale d'une nature plus élevée

v/(i —x^) [i — k'x^) où la quantité placée sous le radical est du quatrième degré en x.

De la périodicité dans les fonctions circulaires et elliptiques.

Cette propriété importante manifeste d'une manière toute particulière la différence de nature des fonctions qui la possèdent avec les fonctions algébriques rationnelles dont nous les avons tout à l'heure rapprochées, et leur imprime leur caractère le plus apparent en quelque sorte de fonctions transcendantes. C'est d'ailleurs par la périodicité que les sinus et cosinus interviennent dans presque toutes les questions de

l'analyse, depuis les éludes qui ont pour objet les propriétés abstraites des nombres entiers, jusqu'aux applications du calcul à la physique et à l'astronomie. Aussi est-il bien digne d'intérêt d'étudier à ce point de vue, dans la longue chaîne des nouvelles transcendantes, celle qui s'offre à son commencement et se joint immédiatement aux fonctions circulaires, les seules connues pendant si longtemps. C'est au début de leurs travaux qu'Abel et Jacobi firent simultanément la découverte capitale que les fonctions elliptiques possèdent deux périodes, une première qu'on peut toujours supposer réelle, et une autre qui est nécessairement imaginaire. Jacobi démontra en outre qu'une fonction uniforme d'une variable ne pouvait posséder plus de deux périodes, et M. Liouville après lui, embrassant dans toute sa généralité la théorie des fonctions doublement périodiques, fit voir qu'elles se réduisaient aux seules fonctions elliptiques, et mit hors de doute la prévision de Jacobi, que ces fonctions résumaient en elles tout ce que pouvait présenter l'analyse à l'égard de la périodicité envisagée dans le sens le plus étendu. Nous allons dans ce qui suit nous occuper du mode d'après lequel se manifeste analytiquemenl ce fait si remarquable de la double périodicité, en commençant par étudier sous ce point de vue la périodicité simple dans les fonctions circulaires. IMais en premier lieu et en raison de son caractère élémentaire et purement arithmétique, nous donnerons la démonstration de Jacobi sur l'impossibilité d'une fonction à plus de deux périodes.