II. — De la périodicité dans les fondions circulaires

La notion géométrique de ces fonctions, leur définition dans le cercle, met en évidence immédiatement tout ce qui concerne la périodicité, tandis qu'au point de vue de l'analyse pure, en prenant par exemple pour définition les développements :

sm X =^ X —

COS^i= I —

/V.2 rv.4

ce caractère si important semble beaucoup plus caché. Il n'en est pas autrement à l'égard de l'exponentielle considérée

comme la limite d'un polynôme entier ( i H | ? ou comme

la série i H ! 1 '- — - 4- . . . . Mais les fonctions cir-

culaires sont susceptibles d'autres expressions où le caractère périodique apparaît tout aussi immédiatement qu'en géométrie, et qu'il est d'autant plus intéressant d'étudier que d'ellesmêmes, par une généralisation facile, elles conduisent aux fonctions plus élevées qui possèdent deux périodes différentes. Pour premier exemple, je prendrai le développement en produit infini

|sin.. = .. (x-f)(r-f)(x-|

qu'on peut considérer comme la limite, pour m infini, du polynôme

DKS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 873

Or on voit tout de suite qu'on a

ce qui donne, en supposant m infini, o(ar-i- i) = — ? (^), d'où l'on conclut sin (77^4-71) 1= — sin7r:r, et en remplaçant ttjc par X, sin (^ + 7^) = — sin^, et par suite sin(:i;H-27r) r=sin^. Nous serons conduit à un second exemple, en prenant la dérivée logarithmique des deux membres de l'équation (i), savoir