III I

et par suite se reproduit, car les fractions partielles n'ont fait que changer de place en s'avançant chacune d'un rang. C'est ici qu'on voit s'offrir par une généralisation facile la manière suivante de représenter une fonction ayant pour période une quantité quelconque, à savoir

o [x] f[x — a) o[x — 2rt) (y [x — 3«). . .

ep [x-\-a) o[x-{-2a] o [x -h 3 a) . . .

tf [x] ->r o [x — a) + o [x — la) -{-''^{x — 3a)-i-... -i-(j>(.r H-«)-ho (xH-2rt) H-'j (xH- 3«) +. . . .

La condition de convergence du produit ou de la série infinie est seule à remplir, et si l'on peut y satisfaire en choisissant pour îp [x] une fonction qui soit elle-même périodique, on se trouve niiené à l'expression d'une fonction à double

période. Tel sérail, par exemple, le développement

siii ^ sin(^- — a) ' sin (x — 2.a) ' sin (x — 3a) ï I I

sin(A'-hrtj sin(^-f-2«) sin(^-h3«)

qui s'offre précisément dans la théorie des fonctions elliptiques, et qu'on prouvera facilement être convergent lorsque la quantité a sera imaginaire. Si l'on supposait a réel, les termes successifs de la série ne tendant pas vers zéro, la divergence serait manifeste, ce qui s'accorde bien avec ce quia été dit précédemment de l'impossibilité d'une fonction à deux périodes réelles.

Mais on peut ne pas employer l'intermédiaire d'une fonction déjà périodique, et parvenir à l'expression d'une série doublement périodique par ce développement doublement infini

2^ o [x -\- fua-i- nb] ,

a ei b désignant les périodes, m et n des nombres entiers variablesauxquelson attribuera toutes les valeurs de — go à -^go . Et de même au point de vue des produits infinis, une analogie immédiate conduit à envisager des expressions de la forme

ma -{- iib

m et n recevantencore toutes les valeurs entières, en n'exceptant que la combinaison /;i = o, /i=-. o. Mais l'élude approfondie de ces expressions a révélé une circonstance importante autant que s'ingulière. M. Cayley, dans un Mémoire sur les fonctions doublement périodiques publié dans le Journal de M. Lioiiville, t. X, a fait voir que leur valeur dépendait essentiellement de la loi suivant laquelle on fait croître simultanément jusqu'à l'infini les nombres m et n. Par exemple, on obtient une expression analytique parfaitement définie et déterminée, en admettant la condition que m et n soient les

DES FOXCTIOXS ELLIPTIQUES. ^^^

coordonnées d'un point contenu dans l'intérieur d'un cercle ^2 l^.2 __ ^2 çJQi^j Qj^ augmente indéfiniment le rayon. Mais en remplaçant le cercle par une autre courbe, ce sera une autre fonction qui s'offrira à la limite, et au lieu de réaliser de la sorte des fonctions doublement périodiques, qui se reproduisent en changeant xen x+a el x -h b, on parvient à des fonctions qui se reproduisent multipliées par un facteur exponentiel. Ces fonctions présentent en effet l'élément analytique fondamental sur lequel repose, comme nous le verrons, toute la théorie des fonctions elliptiques. Mais on remarquera que la prévision fondée sur l'analogie des expressions

.ri I -:

ni

1 J. ■ \ ma H- nb J

ne se trouve pas justifiée, et que les secondes ne sont pas précisément les fonctions à deux périodes, bien qu'elles en fournissent les éléments essentiels. Ne pouvant exposer dans toute leur étendue ces considérations délicates et intéressantes, nous allons toutefois en donner l'idée en nous bornant «ux produits simplement infinis qui conduisent aux fonctions circulaires.

Le fait principal sur lequel nous voulons appeler rallention, consiste en ce que ce produit n'est périodique qu'autant qu'on l'envisage comme la limite déjà considérée, savoir

\ X / \ 2 / V in

pour 7n infiniment grand. Faisons en effet

et concevons qu'on augmente indéfiniment m et /^ en posant la condition

m = oi II f

«désignant une constante désignée à l'avance; nous allons montrer que pour n infini la limite de f{x) dépend de w, et n'est périodique qu'en supposant w = i .

Soit, pour abréger,

x-^rni

l'équation (i) donne, en prenant la dérivée logarithmique des deux membres,

Or on a identiquement :

^x — n ^\x — n n) ^n ^ nx — /^^ ^n

^x-\-in ^\x-\-m m J ^m ^mx + iii^ ^m' de sorte qu'en faisant encore

on peut écrire

cp(:r) ^nx — «' ^mx-i-in^ '

Dl,S FOXCTIOXS ELLlPTIQÏ?ts. 1^77

Cl il s'agit d'obtenir la limite du second membre lorsque ni

cl n croissent jusqu'à l'infini. Or les séries ^ >

^•"i nx — 11-

-5 sont l'une et l'autre conversenles, ont séparé- •^-^ mx -\- m' ^ *

ment des sommes finies et donnent lieu par conséquent à des

limites parfaitement déterminées, où la condition n=oiji ne

peut jouer un rôle. Mais il n'en est plus de même à l'égard

des séries ^ — ■> ^ - ■> dont les sommes croissent indéfini-

ment avec m et n, d'où résulte que )> se présente comme la différence indéterminée de deux infinis, et il s'agit d'en obtenir la valeur.

Nous représenterons à cet effet, par une intégrale définie, la

série — | \- • • • -\ ■> en partant de la relation

X dx

On aura effectivement

-= i ' dx{i-{-

= Cdxl

-i z=z \ (IX [l-\-X ■

I 2 ni

et il en résulte que la différence des deux séries semblables > - , > - , s exprime par

/* ' , x — x"* /* ' I — ^" r ' x" — x"* I dx / dx ■ = ; dx ,

Jo '— -^ Jo '— -^ Jo '— -^

et il s'agit de trouver ce que donne cette intégrale en posant m = w/ï, et faisant n infiniment grand. On y parvient aisément par celte transformation très-simple

Lacf.oix, Cale, (iiff-, II.

•note sir la IIIÉORÏE

On a en effet

-i'-lf

cl par conséquent, pour n infini, l'intégrale bien connue

La quantité désignée par l ayant ainsi pour valeur /w, ne s'évanouit qu'en supposant &j= i, et dans ce cas l'équation (2) devient

et il est visible qu'on peut remplacer les deux séries infinies par cette seule série convergente

o'^I Q.X IX ^ ^ IX

dont la somme est -n cot izx. Mais en général, et en laissant entre m et n le rapport arbitraire w, on aura

- ; - ■ - =: 7TCOt7r:r -t- /w,

d'où

dx ^-r— /- = l sin -X -\- xIm-t~ const.,

et par suite

<^[x) = Ce''^'-^s\m:x,

C étant une constante.

Ce résultat met en évidence le genre particulier d'indéter-

minalion que comporte l'expression TT^ ( iH ) et pouna

servir à faire comprendre le fait analogue relatif au produit

doublement infini TT x ( jH 1— ) dont la valeur géné-

XX y ani -hunj ®

raie s'obtient en multipliant par une exponentielle de la forme e"-^''^'^'''^'^ uuq valeur particulière, déterminée en définissant par une courbe, comme nous l'avons dit plus haut, la loi suivant laquelle on associe les nombres entiers m et n, en les faisant croître indéfiniment. Mais, sous un point de vue plus général, on peut se demander s'il existe des fonctions uniformes et entières qui aient deux périodes. Tel est l'objet de la proposition suivante, due à M. Liouville, et dont l'illuslrc géomètre a fait la base d'une théorie complète des fonctions doublement périodiques (*).