IV. — Proposition de M. Liouville
Elle consiste en ce que toute fonction uniforme f (x), possédant deux périodes a et b, se réduit nécessairement à une constante si elle ne devient infinie pour aucune valeur de la variable. Partons en effet de l'expression suivante, de toute fonction entière, uniforme, ayant pour période a, savoir :
— co
La condition f(:r 4-6) = f(x) donnera l'égalité
! 7T 6 2 (' 7T ar ; 77 .7;
^ lm ini im
VA.e " e « =^h„.e - ,
et si l'on multiplie les deux membres par e " , on trouve,
en intégrant entre les limites zéro ei a,
An,e " =A„
(') On pourra consulter sur ce sujet l'ouvrage de MM. Briot et Bouquet, intitulé : Théorie des Jonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptiques. Paris, Mallet-Bachelier.
38o XOTE SLR LA THEORIE
On on conclut que A^ est nul, car en supposant imaginaire , ainsi qu'on le doit, le rapport des deux périodes-, on ne peut
avoir e " = i que pour la seule valeur m = o. A^ devant être supposé nul pour toute valeur de m, sauf /n = o, on voit que f (^) se réduit à la constante Ao.
Cette proposition aussi simple qu'importante nous fait voir que les fonctions à deux périodes seront nécessairement des transcendantes fractionnaires; elle rend compte à priori des singularités que présente la nature des produits doublement
infinis TT^In r), et montre l'impossibilité de
J-J- \ ma-\-nbJ ^
donner pour origine aux fonctions à deux périodes l'expression plus générale
tf [x] ç [x — a] y ( jc — •2.n)o [x — 3rt . . . (s/[x -i- a] <o[x -{-la] '^ ( ^' H- 3 a . . . ,
en prenant pour © [x) une fonction périodique entière. !Mais ces expressions, si elles ne peuvent conduire aux fonctions à double période, nous amènent à celles (jui leur servent de numérateur et de dénominateur, et c'est à ce moment qu'à proprement parler nous entrons dans l'élude des fonctions elliptiques.
Définition des fonctions O (.r), H f.r), leur expression en produits et en séries.
Rien n'est plus important ni plus digne d'intérêt que l'étude attentive des procédés par lesquels, en partant des notions antérieurement acquises, on parvient à la connaissance d'une fonction nouvelle qui devient l'origine d'un nouvel ordre do notions analvtiques, et un traité complet sur le sujet qui nous occupe ne devrait omettre aucune des méthodes découvertes et suivies à l'égard des fonctions & [x) et H(^). Mais ici nous n'en indiquerons que deux, la première se liant naturellement à ce qui précède, et la seconde devant nous permettre de
DES FOXf.TIOXS ELLIPTIQUES. 38 1
donner ui: aperçu sur les fonctions analogues, mais à plusieurs variables el d'un ordre plus élevé qu'on nomme fonctions abéliennes ou ultra-elliptiques.
l. — Première méthode.
Nous adopterons désormais les notations employées par Jacobi dans l'immorlel ouvrage intitulé: Fundamenta nova theorice functionum ellipticarum, et nous représenterons les quantités qui serviront de périodes par K et ÏK', i désignant V — I. Cela posé, en désignant par ?(^) une fonction entière ayant pour période 2K, nouS considérerons, au lieu des expressions
ep [x] 0/ {x — iK'] !p (x + 2/K'). . .
<p (x -F «K') (jjfjr-l-a/K'). . . ,
que nous scivons ne jjouvoir servir à la définition d'une fonction entièrement déterminée, la suivante :
<}?[x)=^{x-hiK') <f[x-^3iK']^[x +5/R'). ..
o { — X -h i\i' ) <? { — X -{- 3 ili.') o { — X -i- 5iK.')
On aura d'abord
et on trouvera ensuite immédiatement
^' — x—iK']
iK']
On n'a donc pas ainsi une fonction doublement périodique, mais ce nouveau type d'expressions conduit, comme nous allons voir, à des fonctions parfaitement définies et déterminées.
Soit, par exemple, la fonction entière ayant 2K pour période
ce qui donnera
ITt
— x—iK'] --jr(^-+/K')
f{x-{-iK.']
En posant
on trouvera
ç [^ + [im -\- i) iYJ] (j) [ — X -I- [im -f- 1 ) / K']
= 1—2 q-"'^' cos ^ 4- 7^""+% et par suite
(TZ X \ f "K X
I — iq cos -r- -^' 7' ( ^ — ^^^ cos -j^ +
/ vx \
X ( I — 2 ç^ COS 1^ + ?'" } ■ • • •
Or il suffit que le module de q soit inférieur à l'unité pour que ce produit représente une fonction complètement définie et déterminée, car la dérivée logarithmique donne cette série
^' [x] 2 7r . ttX
= sm —
cos
iq^
cos
qui dans ce cas est toujours convergente, quelle que soit la
valeur réelle ou imaginaire de la variable x.
En introduisant en facteur une constante A, nous poserons
avec Jacobi
[x] := A*(.r), ou bien
/ 9.Kx\ . , . , ,
( ) = -^ [i — 2.qcos'2x-^q^] [i — 2q' cosax -f- q^)
X (i — 2 5=' cos 2^ 4- ç'") . . . .
C'est la première des fonctions que nous voulions définir; elle vérifie les relations
!0 (xH- 2K) =0 [x], e [x + iiK') ~ —e{x] e ^ ,
qui servent de base à la théorie.
En second iieu, sou
on trouve immédiatement les relations toutes semblables aux précédentes :
et pour l'expression développée, la formule
H ( 1^ A. 2 V qs'ma:[i — iq-cos^.x-hq^) (i — 2g'cos2.r-4-(y";
X (i — 2 q^ cos 2x -h q^^) ....
C'est la seconde de nos fonctions fondamentales; en la divisant par la première, on obtient une fonction à double période,
car, à cause des relations (i) et (2), le quotient 1 \ satisfait
aux conditions
Faisons enfin
c'est-à-dire
0, f I = A (i-i- 2g cos IX -\- q^) (1 -i-2ç3cos ix -t- q^)
X (n- 25* cos 2^ -H ç'"). . . ,
II, ( ) =A2 V ^C0S^(l-l-2^'C0S2^4-(jf')(l-l-27'C0S2:r-|-<7';
X (i -^ iq^'CQ&ix -f- ^'')
Ces deux nouvelles fonctions conduisent aux relations :
(jj i — TT-C^-f-'K.')
( 0, (xH-2iK') =0, {^) e '^ ,
de sorte que les quotients — r-^' — r — r • seront encore des
fonctions à double période qui se lient chacune à la précédente à peu près comme le sinus au cosinus, et complètent le système des trois nouvelles transcendantes dont l'étude constitue la théorie des fonctions elliptiques. Nous allons les retrouver sous une forme analytique différente, qui les rattache aux transcendantes ultra-elliptiques à plusieurs variables et à périodicité multiple. Mais cette première méthode a l'avantage de donner immédiatement les racines en nombre infini des équations transcendantes qu'on obtient en égalant à zéro chacune de ces fonctions, savoir:
10 [x]=Oy X = 'imK-h['im' -h \]ili.' ,
lIÏ(:r):;=o, ^= 2mK + 2/?i'/K',
1 0, i^x) = o, ^:=(2m-+-i)K-f- [-2. m' -{- 1) ili' ,
{ H,(.a;) — G, X — (2m-hi)K-t-('2"t' H- i)iK',
m et m' désignant des nombres entiers quelconques. Aux diverses relations fondamentales que nous venons de donner, nous joindrons encore celles-ci, dont il est souvent fait usage:
[x-i-iK') = {U {x)e ^^
— 7-^(2^-4-'K') H. [x-hiK') = ie (x) e ^*^ ,
lh[x-hiK') = @, [ Enfin nous remarquerons que ces fonctions ne changent point
iK
en y remplaçant x par ).x, K et K' par "/K et).K', de sorte qu'on peut particulariser l'une des périodes, prendre par exemple K = i , car de ce cas spécial on reviendra immédiatement à nos expressions générales. Mais c'est une particularisalion différente de celle-là que nous aurons à mettre en usage, et dont nous parlerons lorsqu'elle viendra naturellement s'offrir.
