II. — Deuxième méthode

La proposition de M. Liouville consistant en ce qu'une fonc-

lion uniforme entière y km e " , qui admet la période (i,

ne peut, sans se réduire à une constante, admettre une autre période b, conduit naturellement à rechercher l'expression analytique des fonctions à double période sous la forme fractionnaire,

Essayons, d'après cela, de déterminer A™ et B^;, par la condition

2ni — (r-{-b)

b désignant la seconde période. Faisant, pour abréger,

h q = e % il viendra, en chassant les dénominateurs,

2 m ■ im — <x-^b)

' ~ "^ in

et dans cette nouvelle égalité les coefficients d'ane même

ITTX

exponentielle e "^ devront être égaux. Or on reconnaît immédiatement que ces coefficients seront les séries

-l-co -f- ce

2d ^i,.-m^m^'"' et 2m -^•j.-m^m^^ ''~"'\

— ce — ce

de sorte qu'en mettant pour un instant n au lieu de m pour indice dans le terme général de la seconde, on sera conduit à celte égalité, qui devra avoir lieu quel que soit y. :

2 K-..^,nr ^^EV-.Bnq

Il pourra sembler difficile de tirer de là les fonctions inconnues A„, et Bm dans toute leur généralité : aussi nous borneronsnous à chercher celte solution qui s'offre d'elle-même, et qui consiste à obtenir l'égalité des séries en les rendant identiques. Nous poserons donc

et nous imaginerons que n soit exprimé en fonction de m, de manière que ces deux quantités puissent représenter en même temps la série complète des nombres entiers. C'est ce qu'on obtiendra en faisant

k étant entier, et après avjir écrit l'égalité précédente sous la forme

on trouvera amsi

Mais devant satisfaire quel que soit p à cette condition, on pourra poser

fi — m — k = m' ,

m' étant entièrement indépendant de m, ce qui donnera

d'où l'on voit que cliaque membre est une quantité constante. Ainsi les fonctions inconnues A,„ et B^ sont deux solutions de cette même équation aux différences finies

-, — = const., q ^«1

dont l'intégrale générale est

tn°-

— ; -t- K m „ . ik

X dépendant de la constante du second membre, et m™ devant vérifier la condition

«,„+/• = if„,.

Cette quantité a peut être particularisée, comme on le voit, sans restreindre la généralité du résultat, car il suffira pour la retrouver de changer dans la fonction x en x-\-p; nous la supposerons égale à zéro, et nous prendrons pour Am et B„ les valeurs suivantes :

les quantités a^ et b^ vérifiant les conditions

l>m+k = bm.

Ainsi en faisant

__ -r- lm

Tl[x] = V b„

le quolienl — -, — '- sera l'expression d'une fonrlion tloulilo-

meni périodique, donnée par notre analyse, et il s'agit maintenant d'étudier de plus près ces séries remarquables auxquelles nous sommes conduit pour le numérateur et le dénominateur.

En premier lien et relativement à la convergence, si l'on suppose, comme nous l'avons fait déjà, le module de (J inférieur à l'unité, le nombre entier /, qui demeure arbitraire devra évidemment être pris positif; mais celte condition admise, les deux séries considérées comme procédant suivant les puissances quadratiques de g présenteront pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable la convergence la plus rapide, et dont aucun exemple n'avait encore été donné en analyse. En second lieu et pour saisir de quelle manière se réalise la double périodicité dans le quotient, changeons x en x^b, par exemple, dans le numérateur. On trouvera

OU bien

<i> [x -f-b) = ^ rt„,q '' e

en ayant égard à la valeur de q= e " . Mais dans le terme général il est permis de remplacer m par m — /r, puisque l'indice doit recevoir toutes les valeurs entières de — co à -f-3c ; on trouve ainsi et en faisant a^-k = a,„,

l{m—k) l{rn—k)

nt'

= ^cu

/, oint — Al

de sorte que la série primitive 4> [x] se reproduit en facteur.

DES FONCTIOXS ELLIPTIQUES. 3F9

Nous écrirons cette relation fondamentale sous la forme suivante :

et en observant qu'elle a été obtenue sans lien supposer sur les coefficients arbitraires «„, nous y joindrons celle-ci :

■A-'(ij:-|-/0

l'ar là se manifeste de la manière la plus claire à quoi tient la double périodicité du quotient des deux fonctions <t [x] et n [x). Chacune d'elles admet la période a, et lorsqu'on y change x en x -\- h, elles ne font qu'acquérir un même facteur exponentiel qui disparaît par la division (*).

Bientôt on verra le rôle important que joue le nombre entier k qui introduit au numérateur et au dénominateur, h constantes arbitraires d'après les relations

f^m+k — -^ (lin >

b„,+h = bn-

Mais nous devons dès à présent remarquer qu'il est imi)Ossible de satisfaire aux conditions

(l> [x -^ b) = '\> [x] e par d'autres fonctions uniformes entières, que par la série pré-

(*) Dans le cas où A- est un nombre pair, on remarquera la relation suivante. Faisons

fonction qui ne diffère de * {x) qu'en ce que les constantes arbitraires a^ sont disposées dans un autre ordre; on aura

A- ( rr , , ,

3go NOTE Sun la théorie

cédente. Qu'on fasse en effet, pour se placer dans celle livpothèse en vérifiant la première de ces conditions ,

ou plutôt

ITIX

ini

il viendra, en substituant dans la seconde égalité et en comparant les coefficients d'une même exponentielle, a„,+r, = am. Avant d'aller plus loin, nous nous proposerons dans une courte digression de dire quelques mots d'une généralisation aussi remarquable qu'importante des séries que nous venons de rencontrer.

III. — J perçu sHi- les fonctions de plusieurs variables à périodicité multiple.

Une fonciion î{x,, x , . . . , x,,] de n variables peut êlre périodique non-seulement par rapport à chaque variable considérée isolément, mais par rapport à leur ensemble, lorsqu'elle vérifie une condition de celte forme

f [Xi -H «1 , X> -r- «2 , . . ■ , Xn -h Un) = î [x^i Xn,. . . f X,,].

Sous ce point de vue plus général, on a d'abord cette proposition qu'une fonction uniforme de n variables ne peut admettre plus de in périodes simultanées (*). Mais il est extrêmement remarquable et c'est à M. leD^'Riemann de Gôttingue qu'on doit celte belle découverte analytique, qu'à l'égard des fonctions uniformes ou bien déterminées, les in périodes simultanées ne peuvent être des quantités données à priori, et indépendantes les unes des autres. Qu'on forme en effet avec n périodes simultanées convenablement choisies:

go S2, • . • , s«,

(*) Si elle est entière, elle n'en peut admettre plus de n.

DES FOXCTIOXS ELLIPTIQUES. 39 1

les n fondions linéaires

X, = rt, .r, -f- ^t ^2 H- • • • -f- ,^i ^n, X, =z a,x,-\- 62 .ro -f- ■ . • -+- g\ Xn ,

X„ = a,, Xi-hbnX^-i-. . + gn ~r„.

En posant

on aura une fonction transformée simplement périodique par rapport à chaque variable, mais qui conservera }i autres périodes simultanées, et c'est à leur égard que se manifeste dans toute sa simplicité la relation que nous voulons énoncer. Représentons-les par

La proposition de M. Riemann consiste en ce que les termes de ce tableau qui sont placés symétriquement par rapport à la diagonale A,, Bj, . . . , G„, sont égaux, entre eux, ou, ce qui revient au même, en ce que les fonctions linéaires

Gi .r, + Go^j + . . . + G„ x„ ,

sont les dérivées partielles d'une même forme quadratique à n indéterminées.

Voici maintenant la généralisation des séries relatives aux fonctions à double période, et qui donnent l'expression analytique des fonctions analogues à n variables et in périodes simultanées.

Représentons la forme quadratique dont il vient d'être ques-

lion par f (x,, x. ,. . ., x„] et posons

le signe 5! s'élendanl à toutes les valeurs entières de — :o

à H-co des n indices m,, nij,.. ., m,„ et le coefficient constant «/«,, ;«,, . . ., ma étant assujetti à la condition de reprendre la même valeur lorsqu'on augmente du nombre entier k l'un quelconque des indices. Cette fonction est évidemment périodique à l'égard de chacune des variables considérée séparément, et voici la propriété fondamentale qui la rattache aux séries elliptiques.

Désignons par a,, a.,. . ., a,,, n nombres entiers arbitraires,

on aura

^'t [X„X-,,. . ., Xn)

i d 0^ i d o i dt.

2 ««I 2 da„ 2 da

Cette relation ne contenant pas les constantes «m,, n.-,,. . -,1»^^, une autre série n [x,, x.,. . .,Xn), où ces constantes auront des déterminations différentes, donnera de même

X do I do I do

2 f/ft, 2 dcii 2 da,.

O { X\ X--> . - Xn I

Il en résulte que le quotient -y — '- — il^li:: — - représentera

II y Xi, X-2, • • • , XnJ

une fonction de n variables h -2.71 périodes, n d'entre elles égales à l'unité et appartenant séparément à chaque variable, les n autres étant les termes du tableau dont on a déduit la forme quadratique ^(x,, x^,..., x„). Elles résultent effectivement des égalités précédentes, en y supposant successivement nuls, sauf un seul qu'on prendra égal à l'unité, les nombres entiers

DES FOXCTIOXS ELLIPTIQUES. SpS

fl,, «2,. . • , a„. Nous voyons aussi figurer dans les séries un entier /(• dont dépend le nombre des constantes arbitraires qu'elles renferment; or ce nombre sera limité et fini, lorsque la condition suivante, dont la découverte appartient encore à M. Riemann, sera remplie.

Soit

/>., 7^2,. . ., pn, <7i, qx, ••, q,„

Si, S-2, ■ ■ ' , S„j

un système de ir constantes arbitraires, il sera nécessaire et suffisant que les fonctions

f {^. +Pi, X, -r- P2, ■ ■ . . X„-\-pn), f (jc, -\- q^, .r, H-</2,. . , Xn-hq,,),

I ^^'i -\~ S\, X-i -y Sif • • • , Xh "T" 5(1 ) ,

égalées à zéro ou à l'infini, n'admettent qu'un nombre fini et limité de solutions qu'on ne puisse réduire les unes aux autres en ayant égard aux périodes.

C'est à Gôpel et à M. Rosenbaim qu'est due la première notion des séries dont nous venons de parler, et leur application dans le cas de deux variables, à l'expression des fonctions inverses des intégrales de radicaux carrés de polynômes du cinquième ou du sixième degré. M. Weierstrass, dépassant de beaucoup les résultats obtenus par ces deux illustres analystes, résolut dans toute sa généralité à l'aide des mêmes séries le problème de l'inversion des intégrales de radicaux carrés de polynômes de degré quelconque. Après lui, en suivant une voie toute différente, M. Riemann parvint aux mêmes résultats, et c'est dans le champ plus vaste encore des transcendantes à différentielles algébriques quelconques que ces deux grands géomètres se rencontrèrent en obtenant en même temps la solution du problème si général de l'inversion des intégrales de fonctions algébriques quelconques, l'une des plus

Lacroix, Cale, diff., Il, 26

belles et des plus importantes questions qui se soient jamais offertes en analyse.

IV. — Comparaison entre les expressions sous forme de produits infinis et de séries des fonctions et H.

Nous venons, dans un rapide aperçu, de montrer le lien et l'analogie des séries qui donnent l'expression des fonctions doublement périodiques à une seule variable, et de celles qui conduisent aux transcendantes abéliennes les plus générales. Mais le cas le plus simple dont nous allons nous occuper exclusivement est le seul où ait lieu une décomposition en facteurs que ne comportent aucunement les cas plus généraux où les séries renferment deux ou un plus grand nombre de variables. Le rapprochement de ces deux genres d'expressions se présente de lui-même, et résulte de ces relations qui ont été précédemment données et que nous réunissons ici :

-il(x-i-tK') H(;r-I-2K)= — H(x) H(^+2iK') = — H(^)e ^

0i(a- + 2K) =0, (:r) 0,(^-H2iK')=0,(:r] e ^

(x-^iK')

H,(:r-|-2K) =— H,(:r) H,(^4-2/K')=H,(^)e ^ Comme on a évidemment

on voit que les fonctions [x] et H [x] satisfont toutes deux à ces conditions ;

-t^(x-i.iK') ^[x-^2.iK'j = — (p [x] e ^

et les fonctions 0, [jc] et H, (^) à celles-ci pour une raison semblable,

Mais ce sont précisément celles que vérifie l'expression générale

lorsqu'on supposant le nombre /r égal à 2 , on prend pour périodes:

6 = 2zK'.

Les constantes a„ se réduisent alors à deux, «, et a^, et comme elles suffisent, ainsi que nous l'avons établi, à représenter la solution de ces équations la plus générale par des fonctions entières, en leur attribuant des valeurs convenables, les fonctions 01 [x] et H, [x] seront données par la série

m- i-jzx -t-co i-xx

__ — 2 m m- m -rr—

— ce

(înîH-i)—--

Cette détermination résulte d'ailleurs immédiatement des conditions

on remarque en effet que les séries qui multiplient «„ et a,

vérifient respeclivement la première el la seconde, de sorte qu'on aura

a G, [xj = y ,j e ^^ ,

«-> ^ — iim-i-li — rr

en désignant par a et fi des quantités constantes. Si l'on remplace les exponentielles par les lignes trigonométriques, et la

variable x par -, on obtiendra ces développements re-

marcjuables

a 0, I 1 = I + 2^cos2.r-f-2«y'cos4-^-T-2;;''cosD:cH-. . ,

[i H, ( ) =2 V 7C0SX-f-2 V7 cosoa:-l-2v g^'cos 5x-]- ...

En y remplaçant x par xH — » on en déduira

/■?.Kx\ . , .

a t) 1 ) ^^ ' — 2gC0S2:i;-i-2^' C0S4-^ — 2<y^ COS D^-t-. . . ,

pu ( j =2 v^'/sin^ — 2v'<^'sin3:c4- 2v/g"sin5x — . . . ,

D'ailleurs en ayant égard à la relation

e,{x-hiK')=B,[x)e ^^

ontrouveraqueles deux constanlesaet psont égales entre elles. Voici donc entre les séries et les produits infinis des relations d'identité extrêmement dignes d'intérêt, et auxquelles bien d'autres méthodes pourraient conduire. Jacobi, le premier auteur de leur découverte, elM. Cauchy, en ont donné plusieurs qui sont tout à fait élémentaires, mais c'est surtout la suivante

DFS FOXCTIOXS ELLIPTIQUES. 3gy

qui npparlienl à M. Cauchy, el présente ce caractère ainsi qu'on va le voir.

Considérons avec l'illustre géomètre le polynôme entier et fini

La relation identique

{i-]-z)^{qz) = {i-^q"z)o{z)

donne celte suite d'égalités :

A,(i— 7) = i — 7% A,(i-ç^) = A, (ry — ry«), A3(.-7') = A.(fy=-r),

d'où on déduit immédiatement

Cela posé, nommons pour un instant* (2) ce que devient » [z] en y remplaçant q par ç^ n par in el z par -^;^' Si l'on fait

on trouvera aisément a,- au moyen de A,-, el en introduisant /i4- i pour indice, on aura celte expression

.,.. ji — rr) {i-q^^-^)...{i-q-'--^^)

Le nombre entier i doit être regardé comme recevant toutes les valeurs de — nh -h ti, mais on peut se borner ])ar exemple aux valeurs positives, car on vérifie sans peine la relation

il en résulte pour ^ [z] celle forme

ou encore * U) =a„2« r,+ illtl (^ + Z-) + ^ (2^-2-) -i-. . . ].

Mais revenons à la valeur de ^ [z] sous forme de produit, et observons d'abord qu'en remplaçant q par q^ et « par an dans o(z), il vient

(i + z) (14-7=2) (l+<7<2). ..(l-h7'"-'2) ^[{i-hz)[i-\-q'z)...{i-\-q"'z)][{ï-j-q'"+'z)[i+q"'+*z)...[i-j-q'"-'z)],

z de sorte qu'en mettant en dernier lieu au lieu de z , on

trouvera

X [{i-hqz) {i-\-q^z)...'i-{-q"'-'z)].

Or on peut écrire autrement les facteurs du premier produit, en remarquant que

z z IH- ^ = — 1 i-f- - h

cela donne pour o (z) cette nouvelle valeur

(■■+qz) [i+q'z)...[i+q^'-'z).

Telle est la forme défiiiiiive du produit de fadeurs dont nous avons le développement suivant les puissances de z. En faisant, pour abréger,

c'est-à-dire

q On

( I — </="-^^ j ( I — ^■-'"+'' J . . . ( I — ^="+=' ) l'identité algébrique que nous venons d'obtenir s'écrira ainsi :

:=%„[i^-a,q[z-^z-')-hÇl,q' [z'^z-'] 4-. . .-{-(l„q"' [z"+z-%

et par suite, en faisant z = e"'' ,

( I -\-iq cos2,a:-i-q^][i-4~2q^ cos '2x+q'^]...[i +2^^''-' cos'2x-hq*"~'') = ^n(i-i- 2a,gcos2:r-h2a2(/'cos4^-l-. . •-+- 2a„</''''cos2njr).

Or on a pour n infini

et l'identité algébrique fournit l'importante propriété de la transcendante 0, (x), exprimée par la relation

{i-l-2</cos2:c-}-^') (iH-2ç'cos2^-l-ç'') [i^iq^cosax-i-q") .. .

i4-2^cos;^-i-2^'cos4.a? + 2 q^ cos 6^ + . . .

Ce résultat nous conduit à préciser complètement la définition première que nous avons donnée des quatre fonctions

4<^f> NOTE SUR LA TIlÉOIltïî

A = (i-ry) (i r/) (,- g^) (, çs). . . ^ cl nous aurons de la sorte

En partant de là et à l'aide de la relation

0, {^ + /K')=H.(^)e 4K^ on aura ensuite ,

H, f I = 2 ^qcosx-]-^ ]/q''cos3x-i-'i\/q-''cos5x -H . . .,

et ces deux formules, en y changeanlo; en x-\- --, donneront ( I = I — "îq cos 9.x -{-■iq* cos4^ — 2^' coso:r -t- . . . .

H f I = 2 v'^sin^ — 2 s/q^'sin 3:r-i- 2 \/q'''s'm5x — ....

Telles sont sous les formes de produits infinis et de série les transcendantes dont nous allons établir les propriétés.

Des deux formes principales que peuvent prendre parmi une infinité d'autres les fonctions 0, H, etc.

Ce point touche à la plus belle partie de la théorie des fonctions elliptiques, à la théorie de la transformation, que les bornes de cette Note ne nous permettent point d'aborder. Mais indépendamment de leur intérêt propre, les formules que nous allons établir et qui donnent celte transformation spéciale des fonctions 0, H, etc., où l'on remplace l'une par l'autre les quantités KetiK', nous seront indispensables plus tard, et nous devons d'autant moins les omettre qu'il est extrême-

4oi

menl facile d'y parvenir, comme on va voir. D'ailleurs on sera mis ainsi sur la voie de la recherche analogue et plus générale, où l'on remplace K el /K'par mK -+- m'/K', nK + n' iK', m, m' , 71, n' désignant des nombres entiers, et qui constitue le sujet même de la théorie de la transformation. Dans le cas où mil' — m'n = i, on est amené à ce que Jacobi nomme la théorie des formes en nombre infini des fonctions 0, H, etc.; mais parmi toutes ces formes, ce sont celles que nous allons établir et dont nous aurons à faire usage, qui méritent d'être particulièrement distinguées. Posons

TtX-

H [x-i- iK'] = ie [x] e

0, {x-hiK') = E,{x]e ^^ ,

^H, [x-hiK.')=e, [x]e ^^ ,

4o2 NOTE SUR LA THEORIE

celles-ci :

[x + iK.') = in [x], n [x-^iK') = iB [x], 0, {x-{- iK') =7), [x), y,, [x -h lis.'] = Oi [x],

7^(2-^+K) {x-hK) = OJx)e^^

n [x-i-K] =n^[x]ei'^ ,

— {ix-^K) 0,[x-{-K)=Q[x)e'^^

ri,{^-t-K)r3 — •/,(^)e4K'

Cela posé, remplaçons les équations [a] par les suivantes, qui évidemment leur sont équivalentes :

H (^-K) =: — llAx), ] 0, (:r — K) = [x] ,

Alors en comparant les équations [a'] et (6) aux équations [c] et [d], on remarque que le second système de relations coïncide avec le premier lorsqu'on y remplace d'une part

K et i'K' respectivement par

iia et — K, et de l'autre,

G (:r), n [x], 0, [x], >7, [x] par

H. (:r), jH(^), 0,(^), 0(^).

Les nouvelles fonctions que nous avons introduites se trouvent ainsi ramenées aux anciennes, et si l'on remarque que par

le changement de K en /K', et de ^K' en — K la quanlilé K' K

q = e ^ devient qo=e .on aura en conrlusion les

expressions suivantes, où M et M désignent deux fadeurs constants :

I" i j = M-a^^o cosa' ( i4- 2</J cos2.r -i- ql)

{i -h :>.ql cos2^ -+- ^0 )('+ 2g^ cos q.x -i- ql\ . . .),

. f 2.ili.'x\ , i,— . , j , .

iï> ( I = M.2y/^o sm;r(i — "iql C0S2X + </„ )

(i — zql C0S2X-hql)ii — :>-ql C0S2x -\- q^ ), . . . ,

°'(~~"Z~~ ) = ^I-(i + 2</oCOS2a: H- <7J) (1 + 2^^ cos 2a: + ql) {i -i- 2ql cosctx-^ql"), . . .,

(liK'xX »îi I — - — 1 = M ( I — 2 g„ cos 2 ^ -I- gi )

(i — 9.ql cos2:r -^- ql){i — ■zql cos2:c-f- ql"), . . ,

fiiYJx\ TVT z' < — * — 7 O

2° ôl I :=N (^2 y/^ocosor H- 2 y ^^ cos3:r

H- 2 s/'qV cos 5^-1-. . .),

ifi I I = N ( 2 Ijq^ s\nx — "^s/ql sin Zx

■+- lyjql'' sin 5^ — ... j»

0, ( =N(i + 2^0 cos 2^ 4- iql cos4.3:^

-r 2Çj cosôjr -f- . . .),

(liWx\ - , , « r

»!,( I =N (l — 2^0 cos 2^ -i- 2^J C0S4-^

— 2ç^ cos6:c -f-. . .).

4o4 NOTE SUR LA THEORIE

Le principal intérêt de la seconde forme analytique qui nous est ainsi donnée par les quantités ô(^), ri[x], etc., consiste

en ce que l'on introduit, au lieu de • ? l'argument imagi-

naire • En supposant K et K' réels, on a donc sous

forme réelle et l'on peut suivre la marche des fonctions, que l'argument soit lui-même réel ou multiplié par \/— i ; bienlùl on en verra une application.

Propriétés fondamentales des fonctions et H; définition

de sinaiiij', cosamx, Aanu:.

En employant dans ce qui précède la considération de la fonction

m' irtx

pour le cas de A- = ?., nous avons supposé

Désormais nous garderons pour périodes ces deux quantités, et nous ferons par suite

-T-co "'- irzx

avec la condition

ce qui donnera, comme nous l'avons établi, la manière la plus générale de satisfaire par des fonctions entières uniformes aux deux conditions

^[x -\- liK'] =<l>[x\c ,-^ '

Celte solution générale renfermera donc pour h = 4 P^r exemple quatre constantes arbitraires, que l'on mettra en évidence en distinguant ces quatre formes de l'indice m, m = /^n, 4« -ri, 4« -^ 2, 4 « H- 3 , ce qui donnera :

In- an ,.

()"-+- 11"- JTX

ou bien, pour abréger.

Par la on voit que dans le cas où

la solution est représentée par

^[x] = a,^, [x) -f-rtï<l>j(x),

et ne contient plus que deux constantes.

De même en supposant

* (^ 4- 2K) = — * (x), on aura avec deux constantes arbitraires seulement

Ainsi nous avons la manière la plus générale de vérifier ces deux systèmes de conditions, savoir :

!^ [x -h 2K) =: <î) \X), jr- C^' + ' ^) <!- (:f-f- 2/R') = * (a;) e '^