II. < „'iiZ[(x+/K

*{jc 4- 2iK') ='D(^) e ^

4^6 NOTE SUIl LA THÉORIE

Cela établi, nous remarquons qu'en élevant au carré les deux membres des diverses équations fondamentales de la page 894, les résultats sont précisément de la forme du premier de ces deux systèmes. Nous en tirons cette conséquence, qu'en désignant par a, b, etc., des constantes, on aura

ll][x) = cA\[x) ^d^^[x], et en changeant :r en ^ -h K,

U] [x) = c *„ [x] — d <iJj f^).

En second lieu, si l'on multiplie membre à membre, soit les deux premières, soit les deux dernières de ces mêmes équations, c'est à la forme du second système qu'on se trouve amené, par suite on a

A et B désignant de nouvelles constantes, et cette relation donne, en y changeant x en ^ + K, la suivante :

0, (:r)H, [x] = iA<î', [x] — iB<î>i [x).

De là se tirent parmi bien d'autres conséquences (*), les relations algébriques et différentielles de nos fonctions.

I. — Relations algébriques. — Du module et de son complément.

Deux équations linéaires entre les carrés 0%H% 0', Hj, résultent évidemment des expressions de ces quantités par ^^ [x] et «l»! [x). L'une d'elles poura être présentée sous la forme

0'(:c)=zaH=(x) H- a' H; [x),

a et a.' désignant des constantes que nous allons déterminer. Pour cela faisons ces deux hypothèses ;r = o et ^ = R;

(*} Notamment la transformation du second ordre.

comme on a, d'après les formules de la page 384, H (o) = o, Hi (K) = o, il viendra

II; (o) Mais on introduit au lieu de a et a' les quantités suivantes :

Q' (Kl

et comme la relation

H (x + K)=H. (^) donne

H(K)=H, (o), on aura

d'où

Cette première relation obtenue, la seconde en résulte en y changeant x en x-h iK'; si l'on emploie à cet effet les formules données p. 384, il viendra, en supprimant le facteur exponentiel,

— /rH'(^)= — 0^(.r) + /.'0^ (^), ou bien

0'(x)=/fH'(^)+/.'0^ [x).

Ces deux équations représentent d'ailleurs toutes les relations algébriques possibles entre nos quatre fonctions; elles conduisent à la notion des quantités que nous avons désignées

4o8 XOTE SUR LA THÉOIUE

par /,■ et //, el dont les racines carrées s'exprimcDl en série de celle manière:

H (K) 2^/^ + sv^' + ^v/^^-^ 2 VY^-+- • •• •

sjk

(K) 1 4- 2 ^y -f- -j ry' 4- 2 q' H- 2 ^"^ + .

j-p (o) I — iq+ iq' — 2//-' H- 2</"= — . . .

(K) ~ I -+- -.'.ry-i- 2</'H- 2ry'' -t- -zq"' -\-. . .'

La première, k, s'appelle le module de [x], H (x), 0, [x], H, [x], et la seconde, //, le complément du module. Considérées par rapport à q, ou plutôt en faisant

par rapport à la variable w, ces quantités constituent un genre de fonctions analytiques entièrement nouvelles et de la plus haute importance parmi les fonctions d'une seule variable. C'est principalement en algèbre, dans la théorie des équations, et en arithmétique, dans la théorie des formes quadratiques à deux indéterminées, que la considération de ces fonctions a suggéré d'elle-même des points de vue tout nouveaux et ouvert des voies fécondes, où ont été obtenus les plus intéressants résultats. Les bornes de cette Note ne nous permettent pas d'entrer dans ce champ déjà si étendu de belles recherches, mais ce que nous dirons à l'égard des fonctions 0, H, etc., servira de préparation suffisante pour lire les Mémoires spéciaux qui y sont consacrés. C'est de ces fonctions en effet, étudiées à la fois par rapport à ;r et w, que découle tout ce qui concerne k el h' qui contiennent seulement w, et il ne semble pas possible, dans l'étal actuel de nos connaissances en analyse, d'arriver à toutes leurs propriétés en parlant uniquement de leur définition comme quotient des séries données précédemment (*).

(*) Poisson et M. Cauchy sont arrivés, par deux méthodes diflérenles, à cette identité :

, ! i-'ji ^iiz 9 1 rr w n

(1- , ÏTZ ITZ