I -f-2c '-^ -h2e '^ -hst; '■'H

qui conduit à des propriétés fondamentales des modules considérés comme

DES FOXCTÎOXS ELLIPTIQUES. 4^Q

On se rendra compte, jusqu'à un certain point, de celte difficulté, en observant que /r et h' n'existent comme fonctions de w qu'autant qu'en supposant celte variable imaginaire et de la forme

p est essentiellement différent de zéro et positif . Ce sont donc véritablement des parties de fondions, qui dès lors échappent à beaucoup des méthodes les plus habituellement employées. Ainsi il n'existe pas pour /r et h' de développement suivant les puissances de w , et si l'on fait w = w» -i- A pour pouvoir employer la série de ïaylor, voici encore les circonstances particulières qui viennent s'offrir. Les quantités k et h' sont déterminables par la résolution d'une équation numérique, pour une infinité de valeurs de (j, telles que

A + v/^irB

A, B, C étant entiers, et B essentiellement positif; mais si l'emploi de ces valeurs initiales, en faisant m = Wo + h, donne pour premier terme des séries une simple irrationnelle numérique, les termes suivants sont nécessairement des transcendantes. Ainsi par exemple, pour o^ = /, on aura k=—=i

/i'=-^5 et en prenant o) = i-\-h, ce sera l'intégrale

J[ zf^- » qui entrera dans tous les coefficients des déve-

loppements de k et k', suivant les puissances croissantes de h. On voit parla combien on est éloigné des séries qui définissent les transcendantes simples, où les coefficients sont toujours commensurables. Mais sans nous étendre plus longuement làdessus, et pour revenir à ce qui concerne notre sujet, nous

fonction de w. Mais il n'est possible de tirer de là que la transformation pour le premier ordre, et aucune autre voie pour parvenir aux équations modulaires ne s'est encore offerte que celle qui a été donnée par les fondateurs de la théorie des fonctions elliptiques.

L\ci\Oi\, Cale. (/iff.,\l. 27

4lO NOTE SUR LA THEORIE

allons justifier les dénominations de module et de son complément, données à k et /.', en démontrant cette égalité

Les deux relations que nous avons obtenues sont

( k 0^(^) = H^(^) + //HJ [x], \ @^[x] = kW[x)-^1i'Q\[x).

Faisons dans la seconde x = K, après avoir divisé les deux membres par 0' [x], en remarquant qu'on a

0, (JC + K) = 0(^),

et par suite

on trouvera précisément l'égalité qu'il fallait démontrer. Il en résulte cette relation entre les séries infinies,

qu'il est extrêmement facile d'établir directement à l'aide des propositions arithmétiques connues sur la décomposition des nombres entiers en quatre carrés. Mais laissant encore de côté ces questions, nous allons compléter ce qui concerne la définition môme de k et k' dont nous avons obtenu les racines carrées comme fonctions uniformes et bien déterminées de w. Jacobi a fait voir que les racines quatrièmes possèdent la même propriété en donnant les formules remarquables que nous réunissons ici :

I — iq^-\-'2.q^ — 2^'*+...

Les lois de ces séries sont données par ces formules où le signet' s'étend à toutes les valeurs de l'indice n de — X) à H-co , savoir :

sf^^/q —

^{-'Yr"^''

En second lieu, et pour le complément du module, on a

+ ry'

-hq'

-hq'

-iq"-

-+-2fy"'— . .

1 — iq""

iq^-

i — iq'

zq' -j-iq^

4l2 XOTE SUR LA THEORIE

OU en menant en évidence les termes généraux

n' -f-n 3ir-l-n

[-lYr

■xYr^

La quantité Ijhh' qui joue aussi un rôle important est donnée par le développement de forme semblable aux précédents :

yjkh ' = V 2 sjq — .

IL — Définition Jesinam(^), cosam(^j, Aam^.

Équations différentielles.

Posons

Il — — :=■ I \ 7

\lk ®[^)

eu

Les relations algébriques obtenues précédemment et qui sont homogènes par rapport aux quatre fonctions donneront :

La première conduit à représenter it par un sinus, c par un cosinus; c'est ce qu'a faii Jacobi, et en adoptant les notations de l'illustre géomètre, nous poserons

M =r sin am(^), c ~ cos am [x), (V =1= Aam(^).

Le sinus, le cosinus et le a de l'amplitude de la variable x seront ainsi les trois fonctions doublement périodiques fondamentales. Nous voici amenés maintenant au point en quelque sorte le plus essentiel de la théorie, où l'on a pour but de les définir par trois équations différentielles.

Considérons à cet effet la dérivée de m, à savoir:

du I H'(^)0(.r) — H(:r)0'(^) <l'(x)

dx ' w'/j- Q-{x)

Cette dérivée, comme la fonction elle-même, admet la période liK' et ne fait que changer de signe lorsqu'on change ^ en :r H- aK ; ayant donc pour le numérateur la valeur

on tirera immédiatement des relations

e-{x ~- '2iK') — Q''{x}e '^ ,

auxquelles donne lieu le dénominateur, celles-ci :

"'-{x-i-iK')

^{x -h 2iK') — <i> [x] e

4l4 NOTE SUR LA THEORIE

Or, d'après ce qui a été précédemment établi (p. 4o5 et 4o6), on a

<!> (:r)=: rt, '1', {x)-i- a,'î-3{x) = mQ{x)l{{x)-{- m,Qi{x)}li(x),

m et m, désignant des constantes. Observant donc que u change

, . . du

de signe avec^, et que par suite -j- est une fonction paire,

on voit que la partie impaire m0(^)H (^) doit disparaître; ainsi m= o, et l'on a simplement

<î>{x) = mi@,{x)]it{x).

En divisant par Q-{x) et faisant

il viendra

du I 5

-^ = ij.vw = \>-\i[i — «') (i— ii-u^y

Celte constante p représente, puisque la fonction u s'évanouit

sîn 3 m i 3c\ avec X, la liriiite du rapport — -^ — - pour x = o, limite qui

dépend en général des quantités K et K'. Mais nous avons précédemment remarqué que l'expression des fonctions 0(x) H (x)

ne changeait pas en v remplaçant x, K, K' par -•, —■> — ? et

que cette circonstance serait utilisée pour particulariser d'une certaine manière les périodes. D'après cela, nous allons introduire une relation qui aura pour effet de rendre égale à l'unité

, ,. . sin am ix) ^ , , . . , ,

îa limite ^ — -, atin de rapprocher en ce point essentielle

sinus d'amplitude du sinus trigonométrique. Ayant

sin am [x) i

^ ~ \/Tc

i — -2q cos^+ qA(i — iq^cos'-^-hq'

nous ferons pour ^ = o,

^/7K* {i-qY{,^q^y{i-q^Y... ' ou bien

Ainsi, en admettant que les quantités K et K' vérifient cette condition, nous aurons

du

c'est la première des relations différentielles que nous voulions établir. Les autres en découlent à l'aide des équations

et sont

-j— = UU'i

dx

dw j

ax

Plus généralement on aura

dx^"-*-' d-"a

( rt„ + «, u- -H «2 a' + ... + a„ lû" ) vw ,•

^^ (Ao-l-A,?<= -I- AjM^H-.. .4-A„?P') a,

les coefficients étant des fonctions entières de /^^ On en déduit ce développement qui subsiste entre les limites — i et +/ Sa«. /â '^r^ de la variable, et où l'on a fait ~ " ft ^.^i

u =x — 2 lia 5 +4^'"'('^' + 3

8/,3(a'|-33a) ^^ hi6/.Ma'4-3o6a^-Hi89) ^'

/pli — 32/i^(a5 + 2n66a''H-828Qa) 4-

4l6 XOTE Sril LA THÉORIE

On trouve de même

M. Gudermann a fait la remarque qu'on pouvait poser, aux termes près du cinquième ordre,

sin (x\Ji-h k^) u = ' ^ — -

\/i-i-k' et

(' rzz cos .r , iV = COS IiX,

en négligeant seulement x\ ce qu'on vérifiera sans peine par le développement.

Voici donc une nouvelle et complète définition des trois fonctions doublement périodiques, en joignant aux équations différentielles les valeurs initiales u^^o, v=i, w = i pour .x=-o. En particulier, la fonction sinam(^) sera déterminée en posant

) et c'est cette intégrale, ou plus généralement

Y (il) du

en désignant par F (?<) une fonction rationnelle, dont l'étude a ouvert la voie pour parvenir au\ fonctions elliptiques. On reconnaît ainsi l'origine de cette expression de fonctions inverses, dont nous avons plusieurs fois fait usage, puisque u est la fonction inverse de l'intégrale dont la valeur est x, et l'on peut juger quel long enchaînement d'idées et quels efforts il a fallu pour parvenir de là aux notions de fonctions doublement périodiques et aux séries qui nous ont servi de point de départ.

Mais ce long travail a été fécond pour la science; c'est comme conséquences de ces recherches que nous ont été acquises plusieurs notions analytiques entièrement fondamentales, et en particulier ce que nous savons sur le mode même d'existence des fonctions intégrales. Après avoir trouvé, par exemple, que sin am (^) ne change pas lorsqu'on change x en .r-f-4mK + 2m'/K', m et m' étant des nombres entiers, on a dû nécessairement rechercher dans l'intégrale

du

la raison de cette sorte d'indétermination qui donne naissance à la périodicité dans la fonction inverse. M. Cauchy, dans son Mémoire sur les intégrales prises entre des limites imaginaires, avait donné les principes essentiels de cette étude si importante; elle a été complètement faite par M. Puiseux, dans un excellent travail intitulé: Recherches sur les fondions algébriques {3 ournal de M. Liouville, année i85o), et auquel nous renvoyons le lecteur. Un autre résultat encore consiste dans ce sens plus complet et plus approfondi, que l'on a été conduit à attacher en analyse à l'expression même de fonction, en reconnaissant et en caractérisant entre les divers modes de dépendance de deux quantités des distinctions essentielles et dont les recherches auxquelles a donné lieu la théorie des fonctions elliptiques ont montré toute l'importance. Ainsi ont été proposées ces questions dont l'objet est de reconnaître dans la définition même d'une fonction, donnée, par exemple, par une équation différentielle, si elle est uniforme ou non, et dans le premier cas si elle est entière ou fractionnaire. Les résultats les plus beaux par leur grande généralité qui ont été obtenus dans cette voie sont dus à M. Weierstrass ( * ) et à M. Riemann [*').

( "^ ) Théorie der Abel'schen Funclionen. Journal de Crelle, iS56. Voyez aussi diverses Notes de M. Cauchy, publiées à cette époque dans les Comptes rendus, et un Mémoire de MM, Briot et Bouquet sur l'intégration des équations différentielles du premier ordre.

C") AUgemeine Voraussetzungen und Hùlfsmittel lïïr die Untersuchunjj von Functionen unbeschrankt veranderlicherGrbssen, etc., Journal de Crelle, 1857.

4l8 NOTE SUR LA THEORIE