III. — Des quantités K et K
En parlicularisanl les périodes de manière à rendre égale à
,,..,,.., sin am (^) . ^ .
1 unité la limite du rapport pour x inhniment petit,
nous sommes parvenus à l'expression
^,- r (i— r/)(i— (?^)(i— gM... -]' ^U(i-7)('-î^)(i-^')---J'
qui conduit à une conséquence importante. Observons d'abord qu'en supposant ^=:K et par conséquent sin am (K)= i (*) dans l'expression en produit infini de sin am (^), on aura
En divisant membre à membre ces deux équations et extrayant la racine carrée, il en résulte
V ^ L(i-g)(i-9^)('-r)--J r (i-hç) (i+g^jfi+g^)... -]
expression susceptible d'une simplification remarquable. Employons à cet effet la relation donnée par Euler
on obtiendra d'abord
(*) On trouve que sin am (K) =^ i parla formule sin am {x) = — — —— — r > en
, . . /- HfK) seraoDelant que par définition y k =: — -> page 408.
et en remarquant ensuite que
on verra tous les dénominateurs disparaître dans la valeur de i / — 5 qui deviendra ainsi
X[(i -i-q) (i+fy'){i + î^)---?.
Cela étant, si l'on pose :v = o dans la formule précédemment démontrée
1 = I -h 2 </ COS 2 ^ -J- 2 (/' COS 4 -^ -r- 2 </' C0s6 ^ -f- . . .
= ( I -1-27 COS IX-h (f) (1 + 27' COS 2 ^ -h 7« )
X (i+at/^-cos 2^-1-7"').. .X(i — 7'j(i— </')(i — </")•••> il viendra
= (i-fy')(i-7")(i-9«)...[(i + fy)(H-ry^)(i+r/)...?,
d'où ce résultat, qui est d'une grande importance dans la théorie des fonctions elliptiques,
i/ ^ = 0, (o) = iH- 2 g + 2 7* + 2 g" +
On en déduit, en ayant égard aux équations
les deux suivantes :
1/^-^ = H, (o) = 2 ^7 + 2 's/f H- 2 v'fy" + 2 y</'« -^ . . . , i/ = (o) = I — 2 7 -h :?. ,^' - - 2 g» i- . . . .
420 NOTE sua LA THEORIE
C'est la seule quantité K qui donne lieu à des relations de celte forme ; la quantité K', entrant d'une manière différente
^' dans l'expression ç = e *^ ne paraît pas susceptible de développements analogues en série. Mais toutes deux s'expriment d'une manière parfaitement semblable à l'aide des modules Jf et k' par ces intégrales définies
r\ (lu ,^ r du
comme nous allons le démontrer.
Précédemment nous avons déjà fait voir que sinam (K) = i; remarquons maintenant qu'en faisant ^ = K dans les relations
ll{x-\-iW)=iQ{x)e '^^
et en divisant membre à membre, il viendra
H(K + iK^) 0(K) j 0(K + «K')~H(K)~y/l' .
par conséquent, smam:r= — -^ — - — - aura la valeur j pour
A- = K + i K'. Ayant donc
du
/»" du
nous en conclurons que
X sj{i-u^){i-h'u')
rk du
Cl par suite, en retranchant membre à membre,
Or en faisant
ce qui donne le résultat annoncé.
Mais ce que nous venons de dire laisse subsister une lacune importante : nous sommes en effet à l'un de ces points de la théorie des fonctions elliptiques qui appellent de nouvelles recherches pour être aussi complètement traités qu'on peut le désirer. En passant de l'équation différentielle
à la relation
(^li n r-, ;
r" du
on laisse absolument arbitraire la loi de succession des valeurs de la variable u dans l'intégrale, de sorte que les relations précédentes
knû
J, sl{i-iû)[i — h^u'
n'auront un sens entièrement déterminé qu'en définissant le chemin ( * ) décrit par la quantité u =^ sin am ( x ), lorsque x va-
(*) Nous supposons que les notions fondamentales dues à M. Cauchy sur la représentation géométrique des imagiiiaires, et sur les intégrales prises le lonjj dune courbe, sont connues du lecteur.
rie de zéro à K, puis de K à K -j- iK'. Et comme l'argument x peut varier entre ces limites suivant une infinité de lois, il faut de plus connaître comment les chemins correspondants qui en résultent, donnent tous au point de vue de l'intégration par rapportai le même résultat. C'est seulement dans le cas où l'on suppose K, K', et par suite k, des quantités réelles, et qu'on se donne ces lois particulières
/ et T croissant de o à - d'une manière continue, que l'on peut
traiter la question que nous avons posée.
Et d'abord on voit que u = sin am ( j est réel par le déve
loppement
/2K/\ 2v^sin^ — 2^a^sin3/ -h 2 v^a'^ sin 5/ — . . . smam = -^ ^-i -, — î-î : •
\ 77 y I 2^C0S2^ -+- 2 ly' C0S4^ — Q.q'^ COSb t ->r . . .
D'ailleurs entre les limites zéro et K la dérivée du k' H,(^)0,(^)
dont la valeur initiale est l'unité, sera toujours positive. Elle ne peut effectivement s'annuler qu'en faisant
c'est-à-dire (voj-ez p. 384 )>
et aucune de ces racines n'est comprise dans l'intervalle con~ sidéré, la valeur ^ = K se trouvant précisément la limite supérieure de cet intervalle. Nous conclurons de là que t croissant
de o à -j u croît de même de o à i et que dans l'expression
r^ du
l'imégrale est prise dans le sens habituel.
Soit en second lieu
comme on a
. ^^ 2iK'T\ /2/K''. ,
on pourra écrire
,^^ ■2lK'r\ I
sin am K H 1 = -:= ; .,r. ■ >
et en introduisant les fonctions
sm am I K H —
s/lF ,, llj^
I I — 2gocos 2t4- 2^^ cos4f — 2 ql cos6t. . . y/"X- 1 -l-2Çi,cos2T + 2</J cos4'^ -t-2g^ cos6t...
ce qui est encore une quantité réelle (*). On conclura comme tout à l'heure que la dérivée par rapport à t, qui est nulle aux
(') On se rappelle que 9, = e "■ , vo^ez p. 4^3.
424 NOTE SUR LA TIlÉOKIE
deux limites t = o, 7=1-5 ne peut s'évanouir dans leur intervalle, de sorte que c'est encore dans le sens ordinaire d'une intégration reciiligne que l'on a l'équation
du
d'où nous avons tiré
X s/{i-iû){i-k'^u^-)
Avant de quitter ce sujet et afin d'en montrer la difficulté lorsque K, K' et k sont imaginaires, je remarquerai que la supposition qui vient le plus naturellement à l'esprit, qu'on peut faire varier x par exemple de o à K, suivant une loi telle que u soit constamment réel, ne saurait être admise. Autrement dit, il est impossible en général que dans l'expression
l'intégrale soit toujours rectiligne, comme nous l'avons trouvé tout à l'heure.
Effectivement, soient
iX: =aK-^ biK', itK'^cK-{-diK',
a, b, c, d, étant des nombres entiers qui vérifient ces conditions :
ad — 6c? = I ,
En posant
mod2.
on aura
sinam
fi-hr — I
'^ I — ?, ^cosajr-h 2^''cos4.^ — 2^cos6^-t- . . .
re qui esl la même expression analytique (*), au signe près en 0^ et ^', que
2K:r\ I 2i/(7sina: — 2v/o''sin3x-[-2^fl"sin5.r . . . SMiam' ' —
^ /' Jk^ — 2gcos2^4-2g'cos4.^ — 2(fcos3x-h.' en K et K'. On en conclura que DC sera donné comme K par rintéerale j t — - — • Or, en supposant b diffé-
reiit de o, la valeur imaginaire
DC = «K-l- biïi',
ne pourra évidemment résulter que d'une intégrale curviligne. Mais voici un résultat important et qui subsiste quel que soit le mode d'intégration : c'est que les quantités K et K' vérifient la même équation linéaire du second ordre
dont l'intégrale avec deux constantes arbitraires G et C est par suite
:j = CK^C'K'.
I itKxX //.• 2V •^cosa:+2V ;^^cos3x+2V ^"cos5x4-...
cosam(^— — ^j==(-r, ^ S/T'] '
(') Les relations analogues relativement à cos am {x'j et A an)(a:) sont
5cosa:+2V ;^^cos3x+2V 3"cos;
^COS2X-i-2^COs4^— *-i^COsG^-H...
/''oîKuA - ,-1- 2 ?)cos2j:+ 2^*cos4x-i-23''cos6x-+-....
Aam \ i - ( .-.. i/-* v'„ ' ^^ ^: i=! 1
\ ^ / " I — 2Î^C0S2j: -i- 2i^cOs4-r — 2 :;^"cos 6x -|- . . .
on en déduit, en supposant a; = o, ce qui concerre y'A et y'/.' lorsqu'on y clianje
K cl K' en cK et tK .
Laci-.oix, Ca!c. diff., II. 2G
Celte équation conduit au développement de K et K' sous celle forme : soient
\ij V-AJ \ 9..^. . .in J
et h;, la somme des n premiers termes de cette suite, on aura
Il O . i\ J • û
On en déduit aussi cette propriété remarquable, à laquelle nous parviendrons plus loin par une autre voie :
EJ' - JK' = en faisant
Addition des arguments. Théorème d'Abel.
C'est Euler qui a donné le premier les formules pour exprimer sin am(a-!- 6), cos am (aH-6), Aam (a -f- i), au moyen des fonctions semblables relatives aux arguments a et b, et cette importante découverte a été le point de départ et la base des travaux qui ont fondé la théorie des fonctions elUpiiques, de mÔQie à peu près qu'en trigonométrie élémentaire on est parvenu aux propriétés analytiques du sinus et du cosinus en parlant des relations qui donnent le sinus et le cosinus de la somm.e de deux arcs, en fonction des sinus et cosinus de ces arcs. L'illustre analyste, par une sorte de divination restée célèbre dans l'histoire de la science, obtint sous forme algébrique l'intégrale générale de l'équation
du , diif
Or ce résultat revient exactement à l'expression du sinus d'amplitude de la somme de deux arguments, comme nous allons le montrer. Effectivement, en désignant par G la constante arbitraire, l'intégrale est
^ u^{i — u'-){i — f.-'u"')-hii' \/{i — u'){i — h'u'} ^""^ ^ i-/,^u'u'^ '
Mais si l'on fait
Il = sinama, u' =:sin ama',
l'équation ( i ), réduite à la forme
da H- da'= o, donne immédiatement
Voici donc, sous deux formes différentes, l'intégrale d'uno même équation différentielle, et on devra passer de l'une à l'autre en établissant la relation qui lie les deux constantes arbitraires. Je remarque à cet effet que c est évidemment la valeur de a pour «'= o, et si l'on faitsemblablemeni a' ■.=: o et par suite ;/;= o dans l'équation (2), elle donne c ^ u :z= sin am«. La relation entre les constantes est donc
C =^sin amc.
Ainsi la valeur de G en u et u' donne précisément la détermination de sin am (a -i- a') en fonction algébrique de sin am« et sinam«'. La géométrie fournit aussi plusieurs méthodes extrêmement intéressantes pour parvenir à ce môme résultat; ne pouvant ici les indiquer, nous nous bornons à donner sous sa forme analytique si remarquable le théorème découvert par Abe! pour l'addition d'un nombre quelconque d'arguments.
L — Théorème d'Jbel.
Les expressions de sin am^, cosam^, Aam^ par ©fx), Il(^), etc., fournissent les relations suivantes, qui établissent
428 NOTE SUR LA TllÉOIlIE
la double périodicité de ces fonctions, savoir :
I sinam(^ -^ 2K) =— sinam^,
I sinam(x-f- 2iK) =-T-sinamj:;
cosam(^-4- 2K) = — cosamo:,
cosam{;rH-2iK') — — cosam^;
Aam(a:+2K) =-T-Aam^,
Aam [x H- 2/K') = — Aam^.
Or on remarque que les trois fonctions se reproduisent dans le second membre au signe près, de sorte que les diverses combinaisons deux à deux de ces signes, pour l'une et l'autre période, forment pour chacune d'elles un caractère spécial et qui lie entre elles, d'une certaine manière, toutes les fonctions plus générales, composées de sinam^r, cosam^, Aamx, qui à l'égard des périodes satisferont aux mêmes relations. Ainsi, en désignant par F(;r) et/(^) deux polynômes entiers en a: respectivement des degrés 11 et n— i , et faisant
, . . T-. / . , N f/sinam^ /■/ . , n
(f,[x) =sinam.rF (sm=ama:)~i j[sm^amx],
, . T./ , N </cosam^ /./ . , N
(pjfx) = cosamxF(cos='am^) -i. -. / [sm^am^j,
, „ , , dàamx „, ,
vj .r ; -== Aam^r (A'am^) h /( A-am.r ,
' ' ^ •' dx ''
on aura, comme précédemment,
j o, (x-h2K) -- — çf),(.r),
ç.,(^ + 2/K') = -+-çp,(a:);
jj j o,{x -^,- 2K) -•• —^^^{x],
\ o^[x-\~iiYi!)^=^ — o.,{x).
Ce sont ces diverses expressions qui figurent dans le théorème que- nous allons établir, ou plutôt encore la suivante qui possède le caractère résultant de la quatrième combinai-
son possible des deux signes dans le second membre, savoir :
En désignant par F(^) et F,(jr) des polynômes respectivement de degré n el n — 2, <^{^) sera représenté de cette manière, savoir :
z désignant indifféremment sinam^, cosam^, ou Aamx. Mnis, soit pour fixer les idées, z z= sinanijc, et afin de mettre en évidence dans ç(.r) le numérateur et le dénominateur,
employons l'expression ;: = -^ — ^ — [-, qui conduira évidemment au dénominateur ©""[x], de sorte qu'on pourra écrire
Cela posé, ayant
e''"{x + ■2.ili') = Q'"{x)e ^" ,
la relation
<\>{x)=ita[x)Q-"[x]
donne immédiatement, en ayant égard à ce que o[x] admet les périodes 2K, 2/K', ces deux conditions
\'i>{x-\-oAK') = ^^{x)e ^
Or on peut satisfaire à ces relations, et de la manière la plus générale, en n'employant, bien entendu, que des expressions entières, si l'on fait, en désignant par A un facteur constant,
<l(^)=: AH(^ a,)H(^ — Cf..). . .ll[x — «2.,).
43o KOTE SUR LA THEORIE
Effectivement, on véritiera, à l'aide des équations
B.{ se — (/.-]- 7.K) =: — H(x — a),
H(^ — a H- 2 «K' ) = — R{x—y.)e qu'il suffit pour cela de poser la condition
Les quantités y., , «2, • • • , «in-i restent donc arbitraires, ainsi que le facteur constant A, et il est aisé d'établir que la fonction entière, la plus générale qui satisfait aux relations (i), ne contient pareillement que 9.n constantes arbitraires.
Soit en effet
ou plutôt
nr iTTX
la seconde des relations ( ; } donnera la condition
am+2.-z --= C(„, ,
ce qui ne laisse subsister dans l'expression de *(ar)queles 2 71 constantes «„,«,,..., «2„i.
Nous pouvons ainsi poser
AH(^ — a,)H(:r — a,)...H(^ — a,„)
et celte équation remarquable aura également lieu en prenant pour ç(x) la fonction déduite de
en faisant z =. cosam^r et 2 = Aam^.
Maintenant, une analyse toute semblable donnera, à l'égard des trois fonctions oi(x), ç?2(^), ç>3(^), les théorèmes suivants
OÙ A,, A:, A3 désignent des constantes, savoir :
, , A,H(x — ai)H(^ — a,)... H (a- — a,„+, ) <p,(:r) —
A2H,(^ — a,)Hi(^ — a^)
. .H,(^ — aj„4.|)
et l'on aura encore entre les quantités a la relation
«1 -h K.. H- . . . + ajn+i = 0.
C'est dans la conséquence que nous allons en déduire (jue consiste, à proprement parler, le théorème d'Abel.
Nous partirons à cet effet des équations relatives à ç(^) et o,(.r)où ligure la fonction lî{x) qui s'annule avec x et met ainsi en évidence les racines des équations (p(^) = o, 7, (:r) = o. En particulier, considérons la fonction cp(^), où trois cas différents se présentent et correspondent à
z = sinam^, z = cosam^, z = Aam^.
Les polynômes F et F, introduisant 211 constantes, on pourra, ayant pris égal à l'unité le coefficient de z'", déterminer les 2« — I autres coefficients par les équations du premier degré
Cela fait, la relation (i) nous montre qu'on aura encore (j>(^):=o pour x=: y.-in, c'est-à-dire d'après la condition posée entre les quantités a
Cr le produit
>(--.) + ^.F,(.^,][F(.')-:iizF,(=.)]
donne dans les trois cas que nous avons à considérer un po-
l\?i1 NOTE SUR LA THEOniE
lynùme entier de degré ^n et ne renfermant que des puissances paires de z, car on a successivement pour
z = sinam^ (-^Jz=(i — z')(i — 7,^:;'),
2 = cosam.r (^ =[^ - z'-){h''- -^l-^z'),
z = Aam^ (gy=(,-)(/,':^.).
Dans le premier, ce polynôme, décomposé en facteurs, sera donc
(s- — sin'ama, )[z^ — sin^ama^}. . [z"- — sin^amaz^,-, j X [;' — sin'am ( a, -4- aj -i- . . . -f- a,„, jj,
dans le second
[z"^ — cos'amai;(z= — cos^amaj). . .(2' — cos-ama>n,) X[-- — cos-am(«, -;- a, -f- . . . -f- ao„,jj,
cl enfin dans le troisième
{z'' — A^ama, )(r= — A-amaj). . .(2'— A-ama:„,)
X[^- — A'am(a,4-a2 + . . .^ a2„,)].
Les identités que nous venons ainsi d'établir donnent un résultat important lorsqu'on y fait ;j = o. Si l'on désigne en effet, suivant les trois cas, par L, M, N, le terme qui ne contient pas z dans le polynôme F(2'), on obtiendra les relations
sinam(a, -(-a,-f-. . .-1- «^
C0Sam(a,H-3:2 4-- ■ • -T- OLin-\)
Aam(a,-+- a,-!-. . .H-a2„,l =
sinama,snîania2. . .smama2„, dzM
cosama, cosama^. ..cosama2«,
Aama, Aama... .Aama,
Des conclusions toutes pareilles seront données par la fonction
, , . T-/ . n V c?sinamx /-, . , cp,(a;j=smam^F(sm'am:r) -\ , /(sm^am.r),
OÙ F et /inlroduiseni 2 71 4-1 constantes arbitraires. En prenant encore égal à l'unité le coefficient de la puissance la plus élevée dans F(:;') et déterminant les autres coefficients par les conditions
©i(a,) = o, a),(a2) = o,. . . , (p,(a,„) = o, on aura
''l'/sin am .5c\ ■ sin'am^F=(sin-ama:)— f -^ — /-'(sin^am^)
dx
^=(sin'am;r — sin'ama,) (sin-am^ — sin-ama2)...(sin'amar— sin-ama.„ X (sin-anr^ — sin-am[ai-ha2-i-. . . -i-a,„]).
Ce second théorème donnerait la valeur de
sin'am ( x, 4- az -h . . . -i- a,„),
où figure un nombre pair d'arguments, mais le premier a l'avantage de conduire en même temps à l'expression de
sinani(a, -h «2 -"- • .-f-a.„,),
COSam(a| ~.~ a. 4-. . .4-a,„,), Aam ( a, 4- a2 H- . . . 4- a.'«-i ),
OÙ il importe peu que le nombre des arguments soit impair, car rien n'empêche d'en supposer un égal à zéro. Une dernière conséquence à cet égard nous reste encore à établir. Observons que les équations
ep(ai)=o, (f.(a,) = G, . . . , ç(a.,„,) = o,
OU, pour abréger,
déterminent pour les coefficients de F et F, des fonctions rationnelles, dans le premier cas, pour :; =: sin am x, de
^sinama, smama, et ; = cosam a, Aama/;
ci OLi
dans le second, pour z = cosamx, de
d cos am a,
cosama/ et ■ 7 ^ = — sinama, Aama,;
a ai
dans le troisième enfin, pour s .-= Aama,, de
d^ am y.i , .
A am y.i el -, ~ — A - sni am a, cos am a,.
dv.i
Telle sera donc 'k\ forme des quanlilés que nous avons tout à l'heure désignées par L, M, N, et par suite des valeurs ellesmêmes de
sin am (x, -'- aj -i- . . . -h a,„. .,) ,
COSam(a,-!-a,~. . .-7-x,„,),
Aam (a, -I- ao-;- ... -h y-:u-<)-
Quant au double signe, il suffira pour le déterminer d'un cas particulier; nous allons en donner un exemple.
