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Ce résultat, d'une forme assez élégante, ne comprenant que des lignes qu'on peut mesurer sur la figure, peut servira évaluer des aires renfermées par des courbes dont on n'a pas l'équation, avantage que n'offre point la méthode du n° 233. Au reste, dans l'une et l'autre méthode, il faut calculer à pari les portions comprises entre deux points singuliers, et multiplier davantage les ordonnées dans celles où la variation de courbure est le plus considérable. Nous reviendrons sur ce sujet au n' 405.
De l'analogie des différences avec les puissances.
389. Le calcul différentiel et celui des différences, quoique étant bien distincts, comme on le verra dans la suite, ont néanmoins de grands rapports entre eux, et peuvent s'appliquer l'un à l'autre. Lorsque l'on considère le premier sous le point de vue où l'a présenté Leibniiz, ou par la théorie des limites, il devient un cas particulier du second : on a dû le remarquer au commencement de cet ouvrage, et pour le confirmer encore, je déduirai la série de Taylor, de l'équation
—^\ à' it -h elc. (377).
Soit u = f[x), et que la variable x reçoive successivement un nombre n d'accroissements égaux, représentés par x ; la valeur u„ sera celle que prend u quand :c devient .r -h ny.; fai-
tl„
Ml
Il ( Il
sant ensuite n a = h, on aura n =~ el
h hih—OL]
Un z=u-\-- An-\ i ' A-a
ll{h — x) [h— 0.0,]
— ^^- '■ \' u + etc. ,
ce qui peut s'écrire ainsi
la 1.2 a-
etc.
Maintenant, si l'on conçoit que, h demeurant constante, a décroisse indéfiniment, ce qui revient à supposer le nombre n de plus en plus grand, le second membre de l'équation Ci-dessus tendra vers une limite qui s'obtiendra en faisant a = o, et en observant que les rapports
— •> — T' — T' elc->
ont alors pour limites les coefficients différentiels
eu d' K û^ u ,o-"N
-T—^ -. — -"> -. — 5 etc. (3/oj :
nx iXa:- ax^
on aura donc encore
d u h iV u le d^ u h^
«-f--j ^-r-. ^;r— j etc.,
Û.X i (ix^i.i d.r' 1.2.3
pour le développement de la fonction u, quand x est devenue x-hh. C'est à peu près ainsi que Taylor est arrivé au théorème ci-dessus, qui porte son nom.
Lorsqu'une fois on y est parvenu, la théorie analytique du Calcul différentiel n'offre plus aucune difficulté; pjnsi ce qui précède suffit pour montrer comment il résulte du Calcul des différences.
390. A l'aide du théorème de Taylor, le développement des différences d'un ordre quelconque pour une fonction quelcon-
que s'obtient sans difficulté. On a premièrement
du h d'n /t' d'n h^
^i( = -. f- -j-^ h -f-- 5 + etc. ;
dx I dxM .2 dxM .2.3
et si, dans cette équation, on met successivement lu, ^■l(, A' M, etc., au lieu de u, on formera les expressions
dA« h d'Sn h- d'A« h'
Au = —. — • - -+- -j — h -p— + etc.,
dx I dx- 1.2 dx^ 1.-2..6
dA2?< h d'\'u h-
A2/< = — j 1 — j 4- etc.,
dx I d.a;' 1 . 2
A<« = — h etc.,
dx I
etc.,
au moyen desquelles le développement de chaque différence se déduit de celui de la précédente. On obtiendra d'abord
dHi /«' d'« h' d'u h' d^^ I d.a;^ 2 dx* 2.3
d^ii h' d'K A'
dx^ 2.2
d'il h'
-f- -p— h -7— 'r- etc.
dx^ 2 d.Z" 2.2
. . , „ , etc.
dx* 2.3
Il serait facile de trouver la loi que suivent les termes de cette expression; mais on y parvient d'une manière plus générale, au moyen de l'analogie qui existe entre la différentialion des quantités et leur élévation aux puissances, analogie dont le n" 378 renferme les premières traces.
