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Voici maintenant la propriété de la fonction de seconde espèce qu'on doit regarder comme caractéristique et qui justifie son introduction à titre de nouvel élément analytique dans la théorie des fonctions elliptiques; elle consiste dans les relations :

Z(ar-^2K) = Z(x)^2j,

z {jc -h 1 iii' ) = z[x) -h 1 (y .

Ces relations qui découlent immédiatement des équations foudameniales :

0(^H- iK) = e{x),

@{x -\- '2iK') = — Q{x)e

en en prenant les dérivées logarithmiques, donnent en effet la notion d'un nouveau genre de fonctions qui, étant uniformes, se reproduisent avec l'addition d'une constante lorsqu'on augmente l'argument des quantités 2K et 2zK'. Plus lard on verra le rôle et l'importance de ce caractère qui n'est plus la double périodicité, mais qui s'y rattache d'une manière étroite.

On y parviendrait d'ailleurs encore autrement, en partant de l'équation

Z (a.- + rt ) = Z (^) H- Z (a) -f- /i ' sin am x sin am a sin am {x -+- a),

c'est-à-dire du théorème de l'addition des arguments dans la fonction de seconde espèce, que Jacobi démontre comme il suit.

Différenlions par rapport à x l'équation

U{x, a) = a: , / -f- - log ^ '

il viendra

/i'sinam<2C0sam/î Aanirtsin'am^ I — It- sin'ani n sin' am.r

@{a) i@{x — a) 2 ©(^H-rt)

-r — Z(rt)-4- -Z{x-ha) — -Z{x—a),

d'où, en permutant x et a,

//^sinam^cosam^Aam^sin'amrt I — /i'sin^ani a sin^am .r;

— —Z{x)-\--Z{x -]- a)-i--Zix -■ n);

or ces relations ajoutées membre à membre donnent

/i - sin am a: sin am a sin am ( ^ -h a ) 1= Z ( ^ -t- rt ) — Z.{x) — Z{a}.

JII. — De la fonction U{x, n).

On considère comme l'une des plus belles di»couvertes de Jacobi colle expression de n {x, a) où figurent deux quantités, l'argument x et le paramètre a, par la relation

&'{a) 1, e(x — a) n .r, a) —. X —^ + - log -, -;,

dans laquelle n'entre que la seule fonction avec sa dérivée. Il pourrait même paraître inutile, à cause de la simplicité de cette expression, d'introduire avec une désignation spéciale et comme un élément analytique propre la fonction de troisième espèce. Cette désignation cependant est consacrée par les travaux de Legendre qui ont précédé la découverte de Jacobi, et nous l'emploierons dans les énoncés des propositions suivantes.

45o KOTE SUR LA THEORIE

A. — Echange de l'amplitude et du paramètre.

L'équation fondamentale donne immédiatement

nix.a) — nia, x) = x — j—i — a — 7 — f»

ou bien encore

ll{x,a) — n{a, x)=^aZ{x) — xZ{a)

en introduisant la fonction de seconde espèce. Cette propriété peut être établie directement et étendue aux intégrales d'ordre supérieur par la méthode suivante qu'a encore donnée Jacobi. Soit ç(.r) un polynôme de degré quelconque en x et

V 1 sfôcidx

{x — a) sf^

la différence F(^, «) — Y[a,x), ou bien la somme des intégrales

JÇ' sjoadx r sj'axda

[x — a)\jv^x Jo {x — rt)v/çp«

peut être remplacée par l'intégrale double

Ç" r^ dxda n<f'x-\-(f'a){x — a)4-2y« — -l'sxl Jo Jo \,/^s^Z7il 2(x — ay J

Or on trouve aisément que la quantité placée entre parenthèses est une fonction entière de x et de a, de sorte que l'intégrale double se ramène à une somme de produits tels que

JÇ''a'"da ^ r x"dx o \/f« Jo \/«p^

Le cas des intégrales elliptiques résulterait évidemment de là, en posant

tfx^x{i — ^){i — fi-x)

et prenant pour variables x et a, les quantités . ^ .

ft sin cl m jC

et sin-am a.

B. — Des fonctions complètes.

Supposons successivement dans l'équation précédente n ( ^, a) — X\.[a, x)=^aZ{x) — ^ Z ( « ), ^:=K et :r = K-^/R';

en observant qu'on aura

n(rt, K)=:o, n(rt, K-f- /K')== o, on en conclut

n(K, rt) = «Z(K) — KZ(rt) = a J — KZ ( rt ) et

n (K + i K' ) — n ( K) zrr m J' — « K'Z («).

Telles sont les valeurs des fonctions complètes ou bien des intégrales définies

V^ sin am a cos am a a am a sin' am xdx

I — k- sin^am a sin^ am x

n(K+iK') — ii(K)

"^' /r^sinanirt cosam«Aam«sin*am^f/:r

I — /i^sin^am«sin^am:r

Si pour un instant on les désigne respectivement par H et iW , on aura les relations

ii{x + 2K, fl) = n(^, «)-i- 2 H, n(^4- 2iK', «) = n (:c, a)-i-2/H' et

Kn' — nK' =

Mais nous observerons, à l'égard de la fonction de troisième espèce, que l'intégration introduit, en modifiant le chemin décrit par la variable, un multiple entier positif ou négatif de îr y/ — I, de sorte que ces relations n'ont lieu que pour certains

modes d'inlégralion, tandis que les relations analogues relativement à la fonction de seconde espèce n'exigeaient aucune restriction de celte nature.