C. — Addition des arguments

Considérons, pour fixer les idées, un nombre impair d'arguments a,, a., ... , a.„+,, liés par la relation

l'équation fondamentale

n{x,a)=zx — 7-f + - log— ) [

donnera

n(a,, «)H-n(«2, «)-+-... -hn(aj„+,, a)

~ 2 °^ ( a, -h « ) ( a, + rt ) . . • © ( a,„+, -j- a )

Cela posé, je dis que la quantité sous le signe logarithmique s'exprime rationnellement par

sin am cz, , sin am a, , . . , sin am «2„+, ,

Dj^ sinania,, B,^ sinama,, D^,,,^, sinama,„+,

Rappelons à cet effet qu'en désignant par /(x) etf^ {x) deux polynômes entiers en x des degrés n el n — i et faisant

ç ( :c ) = sin am xf{ sin^ am x) -{-Bi sin am xf^ ( sin' am x), nous avons obtenu (p. 43 1 ) la relation suivante

AH (.r — a,) H (^ — a.). . . H (.r — a,„+,)

où les coefficients des polynômes / et /, doivent être déterminés par les équations linéaires

Ç)(a,)=^0, &(hj) ^ G, . . . , ç.(a:„) — G,

et sont des fondions rationnelles des quantités ( A ).

Cela posé, en changeant :r en — x, on en déduit

AH(.r+ a, )H(^ + «,) , , . H(x + a:„+,)

et il en résulte

'f (^) H(:r — a,)H(x — a,) . . .H(JK' — a2„+i)

Or, en faisant

.r = rt -f- / K', d'où

sinam^ = -, — : ,

A sinama

„ . Dasinanirt

DxSinam^-- -, — ; ;

/rsin-anirt

la quantité

H (x-+-a,)H(x-ha,j ..H(x + a2„+,)

deviendra précisément

&{ n — ■y.^)&{a — g.) ..&{a — gj,,-».,) ( « H- g, ) ( « H- g., } . . . ( a -t- g:v,+i ) '

Elle s'exprime par conséquent comme il a été annoncé, ayant pour valeur la quantité

ama

I r. /'^__!____^ /DaSinamrA „ / i

/tsinama"^ \/(^sin'amrt/ \ /rsln^am a / ^' \/r^sin'

I ,. l I \ / DaSinamrA / i \

/rsinam«*^ yi^'sin^ama/ \ /i sin'ama/ •^' \/i-sin'am a/

qu'on ramène, en multipliant haut et bas 'par sin""+' am a, à la forme

sinam «F (sin'am a) — DaSinamaF, (sin'anirt) sinam «F (sin^ama)H-DaSinamaF, (sin'am a)

F (jr) et F,(jp) étant comme /{.r ) ai f^{x) des polynômes de degrés n et « — i en x.

On peut donc écrire, en remplaçant l'argument a..,i^, par

■ — («1 4- «2-1- ... -f- «;,„), l'équalion suivante

n(a,,«) + n(a,, «)+. . .-[-n(a,,„rt)

= n ( a, 4- «2 -;- . . . + y.:n, Cl )

£ j sin amfl;F(sin^ama) — DgSinamaFi (sin'ama) 2 ° sinamaF {sin^am«) 4- DaSinamaF, (sin'am «)'

c'est le théorème de l'addition des arguments sous la forme trouvée par Abel.

I). — De différentes fonctions analogues à la fonction de troisième espèce.

D'importantes questions de mécanique conduisent souvent à réduire aux fonctions des intégrales semblables à la fonction de troisième espèce et qui s'y ramènent par quelque substitution simple; aussi Jacobi, dans son mémorable travail sur la rotation des corps, a-l-il jugé nécessaire de donner le tableau suivant, qui offre la réunion complète de ces diverses intégrales ainsi que leurs expressions sous la forme la plus simple par les fonctions ©.

f/r^sin am a cos am a a am a sin'ai ^^ I — /('sin^amasin^am.r

=: X ■ ,-- H log —7 • •

m xdx

m xdx am^)

r ' /i ^sin am a cos am a cos^ ai J^^ Aamrtfi — /(-sin-ama sin

= — ^ ; / log —7 •

,, T'^tangamflAamaA^am^^.r H',(«) i, ©(-^^ — «^

' ' Jq I — /r^sin-amasin'am^ ii,{a) i "©(jc-i-a}

T"^ Aamacolamaf/x H'(rt) i, e{x^-a)

^ ■ \ ; : : = -^ ,,, ' H log —7 -•

J^ I — /(-sm^am«sui'amar U(«) ■?. "^ e [x-ha)

„ r"^sinamacosamaAamaf/.z- ©'(«) i, H(« + x)

/„ sin-anî« — sm'amx e{a) -i '^ H a — X)

DES FOXCTIOXS ELLIPTIQUES. 4^5

Jf sinam« cosama A^amarf/^ ^, A am a ( sin^am a — sin^am x)

tangî si

ainaAamacos'am xdx

sin^'am « — cos^am jc

H',(rt) I , Wia^x) H, (a) 2 ^H(rt — ^)

fAama cotama sin*am^</^ sin'ama — sin'amx H' [a) I , H [a -\- x)

H («) 2 ° H (« — ^) Il nous suffira d'observer, pour qu'on puisse immédiatement les démontrer, que les équations 2, 3, 4, se déduisent de la première en y changeant successivement x et a en ^ -f- K, rt 4- K a: 4- K -f- iYJ, a-\-Y^-^i R', a: 4- /K', rt + zK'. Ces quatre équations ainsi obtenues, on en tire les quatre suivantes par le changement de x en x-\- iW [*\.

Des fonctions de M. Weierstrass.

Il a été déjà remarqué que sinamo;, cosamx, Aam^, pouvaient, pour des valeurs de x moindres que l'unité, être développés suivant les puissances de cette variable en séries /j ^^i dont les coefficients sont des fonctions entières et à coefficients rationnels de h- II en est évidemment de même de sin'amjt-, de la fonction de seconde espèce

Z ( ^ ) = I /i' sin-am x clx.

(*) Si Ton représente par | V xdr 1 une quelconque des huit formes de la ^o l'onction de troisième espèce, Fx aura pour périodes 2K et 2iK', et les expressions précédentes s'obtiendront immédiatement à l'aide d'une expression générale des fonctions doublement périodiques, qui sera établie à la fin de celle Note,

savoir : F ;x) ^ C -f- S R q-^ '-:■> les quantités % désignant les racines de i'c-

qualiori — — = o> et R les résidus correspondants de F [x).

de son intégrale I Z[x)dx et même aussi de l'expression

— Z{x) dx o

fx Z[x) dx

les développements ne subsistent que pour des valeurs de la variable dont le module est inférieur à l'unité, l'exponentielle

— ij Z(x) dx

e conduit à un développement convergent dans toute l'étendue des valeurs réelles ou imaginaires de^. Effectivement l'équation

Z(x]^='Cx

^ ^ Qx

donne

— r z{x) dx

— 1 Z{x) dx zx-

Voici donc une propriété bien digne d'attention de la fonction

@{x) de se changer par l'introduction du facteur e " '^J~\

en une nouvelle fonction où l'argument est sorti du signe cosinus et où figure directement le module h^ à la place des

périodes et de la transcendante ^ = e . Les mêmes choses

auront encore lieu évidemment à l'égard de ces trois autres fonctions:

sin am x e

- / Z(x)dx

cosamx e

Z{x)dx

JfX Z(x)dx Kx^

o • ' 2 e,{^)jjr

DES FOXtTIOXS ELLIPTIQUES. 4^7

II en résulte qu'à côté des développements périodiques

2K^ __ I 9.\/qsmx — 7.'^q^sin 3x -\- 2y/ry"sin5:r — ... ^ sjlî'^ — 2f/cos2^H-2<j(*cos4.a: — 2^'cos6^ — ...'

2K^__ ^ /A'^v/?cosa:H-2^g''cos3xH-2(/ç"cos5x-

Vt^

2^cos2x-i-2^'cos4-a: — 2f^»cos6:r-t-...

2Ka7 /T-, I +2flC0S2^-f- 2ûf^C0s4^-h209C0s6^+...

A am = \J/i 2 2 z 1 [

ir i — iqcosix + 2g^cos4^+2^''cos6r-i-...

on voit s'offrir un autre mode de représentation où les fonctions doublement périodiques sont exprimées par des quotients de séries rationnelles en^ et h\ et convergentes quelles que soient les valeurs réelles ou imaginaires de ces deux (|uantités. Abel avait entrevu et rapidement indiqué la possibilité de ce nouveau mode d'expression des fonctions elliptiques, mais c'est à M. Weierslrass que revient l'honneur d'avoir mis dans la science, au lieu d'un simple aperçu, une théorie profonde qui conduit directement à ces nouvelles fonctions, non-seulement dans le cas des transcendantes elliptiques, mais pour les transcendantes abéliennes à un nombre quelconque de variables. Ne pouvant exposer ici les principes dont cet illustre géomètre a tiré ces grandes et belles découvertes, nous nous bornerons, et sans sortir des fonctions elliptiques, aux indications suivantes.

1. — Définition des quatre fonctions Al(^). — Équations diffé ren t ie lies.

Afin de rattacher immédiatement ces fonctions aux quatre fonctions ®{x), nous poserons :

~ / Z (x) dx,

AI(x)=:e ^o

I 3111 dm u. — '■

Al(^)

cos am X

Aam^-

Lacroix, Cale, diff., IF. 2^

et par suite

Al(:c) = e

\]{sc),=e '•^^^4,

Al (x); = e

Des relations (A) résultent en premier lieu celles-ci :