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el
f/MogAl(T), d'\02,A\{x) <-/=logsinam.r Ix^ dx'' ~~ dx''
=^ II' sin-àmx —
sin-amo;
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. /pg
d'où, à cause de l'équalion précédente,
cl' \ogAl{x), I
dx^ sin^am:r
Voici, en développant, les équations différentielles qui en résultent :
.,. . d\U{x), \d\]ix),l' , 4,v ^
On aurait d'une manière analogue, ou comme conséquence des relations algébriques.
Ces relations importantes que M. Weierslrass tire immédiatement des équations de définition :
ds'in amx
dx dcosamx dx dMimx
= cosam:r Aam^r,
— sin am^ Aam^,
— /i^sin am^cosamor,
dx
et par une méthode qui s'applique aux transcendantes abéliennes les plus générales, peuvent alors par une nouvelle méthode conduire aux fonctions©, ou servira démontrer directement qu'elles définissent des fonctions développables suivant les puissances de la variable en séries indéfiniment convergentes, et dont les coefficients sont des fonctions entières de /»* à coefficients rationnels. Toutefois, pour effectuer les développements, on suit une voie différente et plus simple dont voici le principe.
46o NOTE SUR LA THEORIE
II. — Equations aux différentielles partielles. — Formules de développement.
Une analyse un peu longue pour que nous puissions la rapporter ici, a conduit M. Weierslrass à ces équations linéaires aux différences partielles, savoir :
-^-^-h2.lr-x j-^-^ -\-Q.hh'^ — 77— ^-|-/,':r^\l^ =o,
' dx' dx dh
|c?*Al(jr)i . f/Al(x), , ,,dk\ix)^ ,,„ ,, ,, . ,, , I dx' dx dk
\d^X\{x), . dKMx), .,,dk\{x), , - ,,,, , ■ dx^ Ux dk
Ces relations importantes sont éminemment propres aux développements en séries, et on en tire les formules suivantes. Soit, en désignant le produit i . 2 . 3 . . . /i par n ! ,
Al(^)2 =1 — Cl — -I- C2 7-: — ... ^ ' — \)'"(Lm r — ri' ' ' ' 2! 4- (2m)I
Al(:rj, = I— D, — , + D2 ^— .. . -h ( — i)""©™^^--,- • -, ' 2! 4- (2m)î
(*) Le terme en a* manque dans ce développement, comme on le voit à — / Z{x)dx priori par l'expression e "^o où la série en exposant commence par
un terme en x*.
DKS FONCTIONS ELLIPTIQUES. /|6l
on aura,
A, = ih\
As = i28(/,^ + /,») + 480 (A-* +/.«),
As = 5i2 (/,•'+ /,•">) 4-3oo8(A' +7r«) +5400/,%
As = 8192 (/,2 + /r") + 95282 (/,« H- /.") 4- 395520 (/.« 4- /,■">)
4-5668096 (/i'4- /<-■"), A,0=i3io72(/,-^4-/i-'*)4-253952o(/i*4-/r'')4-i9O976oo(/,-'^ + /,")
— 3547930/,^ , Bs = i+/f'«+8i (/,-^+/;-'»)— 4537500 (/,^+/,")-27 198588(/,''+/.'-)
— 3i38oo8o(/,^+ /.'*) — 909015270 (/,«+/*'') — 1278530856 /,-'%
C,= r + 2/,', C3=i + 6/,^ + 8/,S C,= i + i2/i2-K6o/r'+32/,% C5=i + 2o/r' + 348/,-^ + 448/,«4-i28/,% Ce— I -i-3o^-^+2372A^+ 4(3oo/,«+288o/<» + 5i2Â'% C:= I 4-42/rH- ]93o8/,'4-5i8i6/,'=-h4jo24A*+iG896/r"'
Ds = 1 28 A^ 4- 448 A' 4- 348 A « 4- 20 k' 4- A '%
D6=5i2A=4- 2880 A' -h 4600 A« 4- 2372 A-' 4- 3oA'» 4- A'%
D:z=2o48A'4- 16896/f* 4- 45024/," 4- 5i8i6A» 4- ôgSoBA'»
