A"-fA's
Ds = 8i92AM-93i84/r4-370944A''4-7-)7264A^4-628o64A'»
4- i6932oA'= — 56/,'*4-A'% Da = 32768 k' 4- 491520 A^ 4- 2725888 A-«4- 91 00288 A»
+ 1 2998928 A-'° 4- 7594592/^^4- i5i5368A'*4- 72A-'"4-A-", D,o:= i3io72A'4- 25o6752A^4- i845o432A^-^ 100242944/''
Mais les équations aux différences partielles ne servent pas seulementàfaciliter le calcul dont nous venons de rapporter les
résultats d'après M. Weierslrass, elles donnent encore, par exemple, une démonstration facile des équations suivantes, qui se rapportent à la transformation du premier ordre, savoir :
'ai (Lt, Ç\=A\{a:, k),
h.\ ikx, j\ = /rAl (^, /r)i,
kXilix, j\ =A1(^, /t)3, \ Al [hx, TJ =A1(^, k)2,
k\[ix, h') =e* k\{x, /r).,
Al(/x, ,V'), = /e~Al(^, /.-),, Al {ix, k'),= e'^K\{x, k),
\ K\{ix, k')z = e'^ k\{x, k)i.
Nous remarquerons enfin qu'en passant ainsi des fonctions
0(^) à Al(^) qui ont perdu tout caractère périodique, les
Al(^), Al(^). Al(x), ,^ ,
quotients . .\ , ■' -i-, , \ •> > .; \ -> se trouvent posséder la AI(^) \\{x) Al(^)
double périodicité en vertu des relations suivantes, conséquence immédiate des équations (B), en se rappelant qu'on a
et
savoir :
KJ'— K'J = -,
k\{x-r-zK) = + Al(^) e-2J(^+K)^ A1(^H-2K); = — Al(^),6-^-J(^^-^^), Al (^ -1- 2K), = — Al (a:),e- -^(''-^^), Al (^ + 2R)3 = + Al (;r)3e-^J(^+'^),
el
lA]{x + ziK') = — A\{x) e-2/J'(x+.K')^
\a1(^ + 2«K'),= — Al(^),e-^'-^'('-^'^'^ 1 Al (X -f- 2/K')..= + Al (^).^-^'J"^"+'*^'), !Al(^4-2/K')3=4-Al(;f)3e-^'J'^"-^'^').
Développements des fonctions elliptiques en séries simples de sinus et de cosinus.
Voici un nouveau mode d'expression analytique qui se dislingue essentiellement de celui que nous venons d'étudier, en ce que la variable est assujettie à rester entre certaines limites déterminées, de sorte que, ces limites changeant, la forme du développement doit changer également. Toutefois, comme il suffit, pour embrasser toutes les valeurs réelles ou imaginaires de l'argument, d'un nombre limité de développements et que, dans chaque intervalle d'ailleurs, le développement convenable subsiste quelles que soient les périodes ou le module, on peut présumer que l'étude de ce mode d'expression ouvrira également la voie pour parvenir aux propriétés fondamentales des nouvelles transcendantes. C'est en effet ce qui a lieu, et on verra même ainsi s'ofirir naturellement la réduction aux fonctions elliptiques de toute fonction doublement périodique uniforme, c'est-à-dire la proposition de M. Liouville énoncée p. 37g et qu'on démontrera ci-après. Mais, sous un autre point de vue et par le seul fait des identités entre les séries et les quotients de séries, on se trouve amené aux propriétés des nombres les plus cachées et les plus importantes, propriétés dont l'intérêt s'augmente même par le lien si imprévu qui les rattache aux transcendantes de l'analyse. Nous nous bornons ici à cette indication, ne pouvant entrer dans cette partie fort étendue de la théorie des fonctions elliptiques et qifi est liée étroitement aux belles recherches que la science doit à M. Liouville sur les fonctions numériques.
