I . I iKx

loge ( ^ I = consi — Q,osix{q-^q^-\~ q^~\~ . . .)

cos6^

{q'-\-q'-^-q''-x--..) [q'-yq'+q'-'-^...)

cosbjc.

ou bien

I , ( iKx\ qco?>-2.x q^dosix <7=cos6^ - log ) = const — -i i- =î— - — 4-

ç*cos8x

— 4(,çsj — ••••

On en conclut les développements des fonctions de seconde et de troisième espèce, d'après les relations

0'(«) I , Qix — a) n{x, a) = x ~-{ -t- - log -4- -»

(*) FoTM p. 382.

c'est-à-dire les formules suivantes

, , 2 K rt '

/ ^Kx 2Ka\ ^Kx n

. ' 2 K rt

, g cos 2 ( ^ -f- <7 ) ffcos^{x-i-a)

^cos2(^ — «) ^^ COS 4 (■a:' — n) 2K^ V ^ / rrysin2asin2^ g2sip4rt sln4.3:^

Pry sin2a 1 ^

g'sinôrt sin6x

3(i-ç«) et

K /2K^\__ÇK' P(/siii2.r ^ ç*sin4^ , q^smdx

r^/ sin L '

En différentiant par rapport à ^ la dernière, on obtient encore

/l'K^ . , iKx çK/' fer cos 2. r 2o=cos4.îi^ - — - sin'am - — ' , ^ -r

çK/* r^cos2.r 2ç^co ~ 277= L I — </' I —

f^cos6:r ^ H

Mais c'est à sinam^, cosam^, Aam^, qu'il s'agit de parvenir, elle même procédé s'appliquerait, s'il était possible de les considérer comme les dérivées logarithmiques de fonctions décomposables en facteurs ainsi que 0(:r). Or on a en effet

, . rflogfAam^ — /icosamo:)

k sin am x = ^j ,

dx

.. f/Iog(Aam^-î- /Âsinam^) i k cos am ^ =: sj —

dx c?log(cosam^ + /sinam^)

làSiinx — ,

dx

et les quanliléssous le signe logarithmique s'expriment comme il suit:

A am /(■ cos am

(i — i\fqQ.o?,x-^q)[\ — ■2\Jq^cç)Sx-\-q~){\ — 2v'^*cos^-|-^*)...

{i-{-'isjqco?,x + q){i-\-i'^q^cosx-{-q^){i-\-i\Jq^cosx-\-q')..-

l'Kx ., . 2.Kx Aam h iA sinam

__(i — -isj — ^sin^ — ^)(i — -is/ — ^'sin^ — q^){i — isf — <yf*sin;r — (/')'•• (i-t-2v — ^sinx — q){j — ay'' — 7'sin^ — </')(i+2v/ — ^^sin^ — 'D---

iKx . . alv.r cosam hzsinam

e^'' ( I — qe-''' ) ( i — q' e^'^ ) ( i — ^' e-='^ ) . . .

( I — qe""' ) ( I — q^e---"' ) ( 1 — q'e'"^ )...

de sorte qu'un calcul tout semblable à celui qui a été fait précédemment conduit aux formules suivantes:

fiK . 2Kx v^sin^ s/q^sinSx s/q^sinSx

sm am = ^^^ h -'-^ ; ^^ h • . . ,

/«■ K 2K:r \Jn cos X \fq^ cos3x Jq^cosSx

cosam — ' ' ^ '

K 2K^ I (itùsix q'^q.os^x q^cosQx

— Aam = -+ ^ — r+ , i +-— ,-^-+....

2r îT 4 1 + 9 l-t-^ l-i-17*

Quant aux expressions des quantités

A am X — /i cos am x, Aam^-h i/rsin am^, cos am X -h « sin am.r,

dont nous venons de nous servir, nous nous bornerons à établir l'une d'elles, la même méthode s'appliquant aux autres, et c'est la dernière que nous choisirons, les précédentes se trouvant dans les i^anc^rtwenfa, car ellessetirentde l'équation (5)page86,

en y changeant pour la première x en- — x el pour la seconde </ en — q.

A cet effet, soit pour un instant, comme p. 38i,

<i{x)=i-e'^; l'expression qu'il s'agit de démontrer égale à

cos am X -'r i sin am x, prendra celte forme .

i-jx

e""^ o{—x-\-iYJ)o{x-^?>iK')o{ — x-\-5iY^') ... (ï.(^ + iK')9( — ^-r-3/K')^(;«;H-5/K') .. . '

d'où l'on voit qu'on la ramènera déjà à avoir [x) pour dénominateur en muliiplianl les deux termes par

Ao(— ^■ + /K')cp(^+3/K')o(-x-i-5ik')...,

A désignant une constante. Faisons donc

i-nx

.^(^) = Ae-^ ^^ — x-{-iYJ)f[x-^ZiYJ)f{ — x-\-SiK').. ., on aura évidemment

•^{x-^ aK) = — ■ <I> [x), et en second lieu

Or on satisfait de la manière la plus générale par des fonctions entières aux deux conditions:

/ <l>(jt:4- 2K) = — <]'(^)

en prenant

4>(^) = ai(^)-t-C,H,(a:),

de sorte qu'on peut poser

l 7ZX

JzK

({)(:r + iK')<6( — X -j-3iK')o{x — 5/K').. .

CH(:r)4-C,H,(^) , .^ .

= ^ — - — -, — ; — - = Acosam^ ■+■ iB smamx,

en désignant par A et B des constantes, qu'on déterminera par une hypothèse particulière. Soit par exemple .r = o et ^ =^ K, on obtiendra immédiatement A= i, B= i, ce qui démontre notre formule.

A cette occasion je remarquerai que la manière la plus générale de satisfaire par des fonctions entières aux conditions

<l>{x-r-^K) = ^{x) ^l>(x-^/liK')=z^{x)e ^

^^(.rH-4(K')

qui comprennent les précédentes, est de prendre avec quatre constantes arbitraires

*{^)=: A0(^)-HBH(^)-f-C0, (.r) -^- DH,(.r).

Celte expression qu'on voit à priori être solution, par les relations de la page 894, est effectivement la plus générale, car en supposant

ou plutôt

m- mÎTzx

la seconde de ces conditions conduira à poser

(lin + i ^^^ ^m>

ce qui ne laisse bien subsister que quatre constantes arbitraires dans l'expression de *(^).

II. — Des séries précédentes ordonnées suivant les puissances

de q.

Ces développements se sont offerts d'eux-mêmes dans re qui précède ; ainsi, avant d'effectuer la sommation des progressions géométriques, a-t-on obtenu par exemple :

/rK . 2K^ . I- ,

— sin am = sm ^ v'</ ( i -r- 7 -[- a' H- . . . )

-h sin Z X \l q' {i-\- q^ -\- q" -^ ...)